Odpowiedź :
a) D (4, -8) oraz D ( -8, 10)
b) D (7, 7) oraz D (-11, -5)
Długość odcinka, prostopadłość oraz równoległość dwóch prostych
Na potrzeby tego zadania będą nam potrzebne:
- wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych
- wzór na prostopadłość lub równoległość dwóch prostych
a) odcinek CD był prostopadły do AB
Wiemy, że proste AB oraz CD muszą mieć taką samą długość. Obliczmy długość odcinka AB, ze wzoru na długość odcinka:
[tex]|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/tex]
gdzie:
[tex]x_1,y_1[/tex] - współrzędne jednego z punktów
[tex]x_2,y_2[/tex] - współrzędne drugiego z punktów
Podstawmy punkty A (-3, -1) i B (6,5) do wzoru:
[tex]|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\|AB|=\sqrt{(6-(-3))^2+(5-(-1))^2}\\|AB|=\sqrt{9^2+6^2}\\|AB|=\sqrt{117} \\[/tex]
Odcinek AB ma długość [tex]\sqrt{117}[/tex].
Wyznaczmy wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty A(-3, -1) oraz B (6, 5). Podstawmy współrzędne x i y do wzoru ogólnego funkcji liniowej: y = ax + b
-1 = -3a + b
5 = 6a + b
Przemnóżmy jedno z równań przez (-1) aby móc zastosować metodę przeciwnych współczynników (aby w jednym równaniu b było dodatnie, a w drugim ujemne):
-1 = -3a + b | × (-1)
5 = 6a + b
1 = 3a - b
5 = 6a + b
Dodajmy te równania stronami (zauważmy, że b nam się redukuje):
6 = 9a
[tex]a = \frac69=\frac23[/tex]
Znając wartość a, wyznaczmy współczynnik b:
-1 = -3a + b
[tex]-1 = -3 * \frac23+b\\-1=-2+b\\b=1[/tex]
Funkcja liniowa przechodząca przez punkty A i B jest dana wzorem:
[tex]y=\frac23x+1[/tex]
W jakim celu wyznaczaliśmy funkcje liniową? Wiemy, że odcinek CD ma być prostopadły do odcinka AB (a odcinek AB zawiera się we wzorze naszej funkcji). Wyznaczymy teraz wzór funkcji przechodzącej przez punkt C (-2,1). Wiemy, że prosta CD musi być prostopadła do AB, co za tym idzie, iloczyn współczynników stojących przy x musi dawać -1. Współczynnikiem [tex]a_1\\[/tex] stojącym przy x w naszej funkcji jest [tex]\frac23[/tex].
[tex]a_1*a_2=-1\\\frac{2}{3} *a_2=-1\\a_2=-\frac{3}{2}[/tex]
Wiemy, że druga funkcja musi mieć współczynnik kierunkowy równy [tex]-\frac32\\[/tex], aby była prostopadła do funkcji, w której zawiera się bok AB. Wyznaczmy wzór tej funkcji, przechodzący przez punkt C(-2, 1) i mający współczynnik przy "x" równy [tex]-\frac{3}{2}[/tex]:
[tex]y=ax+b\\1=-\frac{3}{2} *(-2)+b\\1=3+b\\b=-2[/tex]
Nasza funkcja prostopadła do AB ma wzór:
[tex]y=-\frac32x-2[/tex]
Punkt D ma współrzędne x i y. jednak zauważmy, że punkt D leży na prostej [tex]y=-\frac32x-2[/tex]. Zamiast współrzędnej "y" możemy wstawić [tex]-\frac{3}{2} x-2[/tex], ponieważ są to wyrażenia przemienne. Skoro odcinek CD ma mieć długość taką samą jak AB czyli [tex]\sqrt{117}[/tex] skorzystajmy ze wzoru na długość odcinka aby wyznaczyć punkt D:
Przyjmijmy:
- C (-2, 1)
- |CD| = [tex]\sqrt{117}[/tex]
- współrzędne punktu D [tex](x, -\frac{3}{2} x-2)[/tex]
Podstawmy wszystkie dane do wzoru na długość odcinka:
[tex]|CD|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\\sqrt{117} =\sqrt{(x-(-2))^2+(-\frac{3}{2}x-2-1 )^2}\\\sqrt{117} =\sqrt{(x+2)^2+(-\frac{3}{2}x-3 )^2}\\\\[/tex]
Podnieśmy do kwadratu obie strony równania:
[tex]117=(x+2)^2+(-\frac{3}{2} x-3)^2\\117=x^2+4x+4+(\frac{9}{4} x^2+9x+9)\\117=x^2+4x+4+\frac94x^2+9x+9\\[/tex]
Pomnóżmy przez 4 obie strony:
[tex]468=4x^2+16x+16+9x^2+36x+36\\468=13x^2+52x+52\\13^2+52x-416=0\\x^2+4x-32=0\\\Delta=4^2-4*1*(-32)=16+128=144\\\sqrt{\Delta}=12\\x_1=\frac{-4+12}{2}=4\\ x_2=\frac{-4-12}{2}=-8[/tex]
Mamy dwa rozwiązania. Teraz dla każdego z nich należy wyliczyć współrzędną y ze wzoru funkcji liniowej:
[tex]y=-\frac32x-2[/tex]
dla x = 4:
[tex]y=-\frac32*4-2\\y=-6-2\\y=-8[/tex]
Punkt D ma współrzędne (4, -8).
dla x = -8:
[tex]y=-\frac32*(-8)-2\\y=12-2\\y=10[/tex]
Punkt D ma współrzędne (-8, 10).
b) odcinek CD był równoległy do AB
Wiemy, że wzór funkcji liniowej zawierający punkty AB ma wzór:
[tex]y=\frac23x+1[/tex]
Aby odcinek CD był równoległy do AB współczynnik kierunkowy (wartość stojąca przy x) dwóch funkcji musi być taki sam. Współczynnikiem kierunkowy funkcji y jest [tex]\frac23[/tex]. To oznacza, że aby prosta CD była równoległa do prostej AB również musi mieć współczynnik kierunkowy równy [tex]\frac23[/tex].
a = [tex]\frac{2}{3}[/tex]
C (-2, 1)
Wyznaczmy wzór funkcji o współczynniku a = [tex]\frac{2}{3}[/tex] oraz przechodzącej przez punkt C(-2, 1):
y = ax + b
[tex]1=\frac23*(-2)+b\\1=-\frac43+b\\b=1\frac43\\b=\frac73[/tex]
Nasza funkcja ma wzór:
[tex]y = \frac23x+\frac73\\[/tex]
Nasz punkt D, podobnie jak w poprzednim podpunkcie, współrzędne x oraz [tex]\frac23x+\frac73[/tex], ponieważ współrzędną "y" możemy zastąpić właśnie tym wyrażeniem.
Przyjmijmy:
- C (-2, 1)
- |CD| = [tex]\sqrt{117}[/tex]
- współrzędne punktu D [tex](x, \frac{2}{3} x+\frac73)[/tex]
Podstawmy te dane do wzoru na długość odcinka:
[tex]|CD|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\\sqrt{117} =\sqrt{(x-(-2))^2+(\frac{2}{3}x+\frac73-1 )^2}\\\sqrt{117} =\sqrt{(x+2)^2+(\frac{2}{3}x+\frac43 )^2}\\\\[/tex]
Podnieśmy obie strony do kwadratu:
[tex]117=(x+2)^2+(\frac23x+\frac43)^2\\117=x^2+4x+4+(\frac49x^2+\frac{16}{9}x+\frac{16}{9})\\117=x^2+4x+4+\frac49x^2+\frac{16}{9}x+\frac{16}{9}[/tex]
Pomnóżmy obie strony równania przez 9:
[tex]1053=9x^2+36x+36+4x^2+16x+16\\1053=13x^2+52x+52\\13x^2+52x-1001=0\\x^2+4x-77=0\\\\\Delta=4^2-4*1*(-77)=16+308=324\\\sqrt\Delta=18\\x_1=\frac{-4+18}{2}=7\\ x_2=\frac{-4-18}{2}=-11[/tex]
Mamy dwa rozwiązania. Teraz dla każdego z nich należy wyliczyć współrzędną y ze wzoru funkcji liniowej:
[tex]y = \frac23x+\frac73\\\\[/tex]
dla x = 7:
[tex]y = \frac23*7+\frac73\\y=\frac{14}3}+\frac73\\y=\frac{21}{3}\\ y=7[/tex]
Punkt D ma współrzędne (7, 7).
dla x = -11
[tex]y = \frac23*(-11)+\frac73\\y=\frac{-22}3}+\frac73\\y=\frac{-15}{3}\\ y=-5[/tex]
Punkt D ma współrzędne (-11, -5).
