Dana jest funkcja popytu na odzież q(x)=11[tex]\frac{2x-10}{x+20}[/tex] gdzie x oznacza dochód miesięczny w zł na osobę. Oblicz elastyczność dochodową popytu dla dochodu 2,3 tys. Zł na osobę.

funkcja popytu na odzież dana jest wzorem: [tex]q(x)=\frac{2x-10}{x+20}[/tex], gdzie [tex]x[/tex] oznacza dochód miesięczny na osobę w złotówkach
dochód na osobę wynosi x=2300 zł

Szukane:

Elastyczność dochodowa popytu dla dochodu 2300 zł na osobę, czyli:

[tex]E_{2300}q(2300)[/tex]

Rozwiązanie:

1. Elastyczność dochodowa popytu dana jest następującym wzorem:

[tex]E_xq(x)=\frac{x}{q(x)} \cdot q'(x)[/tex], gdzie w naszym przypadku:

x - argument funkcji q, oznaczający dochód miesięczny na osobę (x>0)
q(x) - funkcja popytu na odzież, gdzie q(x)≠0
q'(x) - pochodna funkcji (czyli miara zmiany szybkości funkcji q(x)) popytu na odzież

2. Obliczmy pochodną funkcji q(x), czyli q'(x), którą później wykorzystamy we wzorze. W celu jej obliczenia zastosujemy wzór na pochodną ilorazu następującej postaci:

[tex]\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}[/tex]

Postąpmy w analogiczny sposób, jak zostało przedstawione we wzorze:

[tex]q'(x)=11\cdot\frac{2(x+20)-(2x-10)\cdot1}{(x+20)^2} =11\cdot \frac{2x+40-2x+10}{(x+21)^2} =\frac{11\cdot50}{(x+20)^2} =\frac{550}{(x+20)^2}[/tex]

3. Mając jawną postać funkcji oraz wyznaczoną jej pochodną, możemy wyznaczyć wzór na elastyczność dochodową popytu na odzież:

[tex]E_xq(x)=\frac{x}{q(x)} \cdot q'(x)=\frac{x}{11\cdot\frac{2x-10}{x+20} } \cdot\frac{550}{(x+20)^2}=\frac{550x}{11(2x-10)(x+20)} =\frac{50x}{(2x-10)(x+20)}[/tex]

4. Następnie podstawmy do wyznaczonego powyżej wzoru na elastyczność dochodową popytu na odzież jako argument x=2300 zł:

[tex]E_{2300}q(2300)=\frac{50\cdot2300}{(2\cdot2300-10)(2300+20)}=\frac{50\cdot2300}{4590\cdot2320} =\frac{575}{53244} \approx 0,01[/tex]

Z otrzymanej wartości elastyczności dochodowej popytu wynika, że wzrost dochodu na miesiąc o 1% spowoduje wzrost popytu na odzież również o około 1%.