Równanie okręgu to: [tex](x-4)^2+(y-1)^2=5^2[/tex]
1. Skorzystajmy z równania okręgu o środku S=(a, b) i promieniu r, danego wzorem:
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex]
2. Skoro powyższe równanie okręgu ma być spełnione dla trzech zadanych punktów o współrzędnych:
to musimy podstawić za x i y współrzędne każdego z trzech punktów, gdzie pierwsza współrzędna odpowiada odciętej (x), a druga - rzędnej (y). Dostajemy zatem trzy równania z trzema niewiadomymi (a, b, r):
3. Przyrównajmy do siebie pierwsze równanie z drugim (możemy to zrobić, ponieważ w obu równaniach po lewej stronie mamy r²):
[tex](1-a)^2+(5-b)^2=(8-a)^2+(-2-b)^2[/tex]
Następnie je rozwiążmy, stosując wzór skróconego mnożenia
(a-b)²=a²-2ab+b²:
[tex]1-2a+a^2+25-10b+b^2=64-16a+a^2+4+4b+b^2[/tex]
Uporządkujmy jednomiany, a kolejno przenieśmy niewiadomą [tex]a[/tex] na lewą stronę równania, natomiast pozostałe liczby na prawą stronę równania:
[tex]1-2a+25-10b=64-16a+4+4b\\\\26+14a=68+14b\\\\14a=42+14b\\\\a=3+b[/tex]
4. W ten sam sposób postąpimy przyrównując do siebie pierwsze równanie z trzecim:
[tex](1-a)^2+(5-b)^2=(9-a)^2+(1-b)^2\\\\1-2a+a^2+25-10b+b^2=81-18a+a^2+1-2b+b^2\\\\1-2a+25-10b=81-18a+1-2b\\\\16a=8b+56\\\\b=2a-7[/tex]
5. Wyznaczone równania na [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] połączmy ze sobą i wyliczmy wartość [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex], czyli współrzędnych środka okręgu:
[tex]a=3+b\\\\a=3+(2a-7)\\\\a=3+2a-7\\\\a=4\\\\b=2a-7=2\cdot4-7=8-7=1[/tex]
6. Wyznaczone współrzędne środka okręgu podstawmy do jednego z trzech równań okręgu i wyliczmy promień okręgu ([tex]r[/tex]). Dla pierwszego równania będzie to wyglądało następująco:
[tex](1-a)^2+(5-b)^2=r^2\\\\(1-4)^2+(5-1)^2=r^2\\\\(-3)^2+(-4)^2=r^2\\\\9+16=r^2\\\\r^2=25\\\\r=5[/tex]
7. Uzyskujemy zatem wszystkie dane niezbędne na równanie okręgu, które możemy zapisać następująco:
[tex](x-4)^2+(y-1)^2=5^2[/tex]