[tex]\frac32L > e + f + g\\[/tex]
gdzie:
L - obwód
e, f, g - długość poszczególnych środkowych
Rysunek poglądowy znajduje się w załączniku.
Środkowe w trójkącie
Środkowa w trójkącie odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
W dowolnym trójkącie długości dwóch boków są większe od trzeciego boku:
a + b > c
a + c > b
b + c > a
Przyjmijmy założenia (zobacz rysunek w załączniku):
a - połowa boku AC
b - połowa boku AB
c - połowa boku BC
Podstawmy nasze dane do tych nierówności:
a + a + b > e
b + b + c > f
a + c + c > g
Dodajmy stronami:
a + a + b + b + b + c + a + c + c > e + f + g
3a + 3b + 3c > e + f + g
Wiedząc że obwód trójkąta na rysunku to L= 2a + 2b + 2c, wyciągnijmy z równania wyżej te wartości:
2a + 2b + 2c + a + b + c > e + f + g
Zastąpmy literką "L" wyrażenie 2a + 2b + 2c:
L + a + b + c > e + f + g
Zauważmy, że a + b + c to połowa obwodu L:
L = 2a + 2b + 2c
[tex]\frac{L}{2}=\frac{2a+2b+2c}{2}\\ \frac{L}{2} =a+b+c[/tex]
Podstawmy zamiast a + b + c wyrażenie [tex]\frac{L}{2}[/tex]:
[tex]L +\frac{L}{2} > e + f + g\\ \frac{3}{2}L > e + f + g[/tex]
Widzimy, że długości środkowych e, f, g są mniejsze od [tex]\frac{3}{2}L[/tex], co mieliśmy udowodnić.
