Odpowiedź :
1. Wartości x w logarytmach:
a) [tex]x=16[/tex]
b) [tex]x=2[/tex]
c) [tex]x=\sqrt[4]{4}[/tex]
2. Suma logarytmów
[tex]2log_\frac{1}{3} 81 + log_\frac{1}{3} \frac{1}{27} = -5[/tex]
Czym jest logarytm?
Logarytmem z liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b:
[tex]log_ab = c[/tex] to [tex]a^c=b[/tex]
Mamy zatem:
a)
[tex]log_\frac{1}{2} x=-4[/tex]
czyli po przekształceniu zgodnie z definicją mamy:
[tex]x =( \frac{1}{2}) ^{-4}[/tex]
Obliczamy zatem x. Pamiętamy, że podnoszenie do ujemnej potęgi odwraca liczbę, którą potęgujemy. Mamy więc:
[tex]x=2^4=16[/tex]
b)
[tex]log_{3\sqrt{3} }27=x[/tex]
Przekształcamy zgodnie z definicją:
[tex](3\sqrt{3} )^x=27[/tex]
czyli do jakiej potęgi musimy podnieść 3√3 aby otrzymać 27? Możemy zapisać to w jeszcze prostszej formie włączając 3 pod pierwiastek:
[tex](\sqrt{9*3} )^x=27\\(\sqrt{27} )^x=27[/tex]
Widzimy, że x musi równać się 2, żeby zdjąć pierwiastek, zatem:
[tex]x=2[/tex]
c)
[tex]log_x4=4[/tex]
ponownie przekształcamy zgodnie z definicją:
[tex]x^4=4[/tex]
musimy zatem nałożyć pierwiastek 4 stopnia i otrzymamy odpowiedź:
[tex]x=\sqrt[4]{4}[/tex]
Suma logarytmów o tej samej podstawie
Jeśli chcemy dodać dwa logarytmy o tej samej podstawie, możemy skorzystać ze wzoru:
[tex]log_ab+log_ac=log_a(b*c)[/tex]
Oprócz tego w naszym przypadku musimy jeszcze wciągnąć czynnik przed logarytmem zgodnie ze wzorem:
[tex]n*log_ab=log_a(b^n)[/tex]
Mamy zatem:
[tex]2log_\frac{1}{3} 81=log_\frac{1}{3}(81^2)[/tex]
Przechodzimy zatem do sumy:
[tex]2log_\frac{1}{3} 81 + log_\frac{1}{3} \frac{1}{27} = log_\frac{1}{3}(81^2)+ log_\frac{1}{3} \frac{1}{27} = log_\frac{1}{3}(81^2*\frac{1}{27} )[/tex]
Zauważmy, że w nawiasie mamy potęgi trójki, a więc:
[tex]log_\frac{1}{3}(81^2*\frac{1}{27} ) =log_\frac{1}{3} ((3^4)^2*\frac{1}{3^3} )=log_\frac{1}{3} (3^8*\frac{1}{3^3} )=log_\frac{1}{3} (3^8*3^{-3} )=log_\frac{1}{3} 3^5[/tex]
Przekształcając następnie z definicji mamy:
[tex]\frac{1}{3} ^x=3^5\\\frac{1}{3} ^x=\frac{1}{3}^{-5}\\x=-5[/tex]
Wniosek:
[tex]2log_\frac{1}{3} 81 + log_\frac{1}{3} \frac{1}{27} = -5[/tex]
