Odpowiedź :
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej jedna z wylosowanych kart jest królem wynosi:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} =\frac{33}{221}[/tex]
Prawdopodobieństwo
Określa, mówiąc potocznie, jaka jest szansa, że wydarzy się dane zdarzenie. Prawdopodobieństwo jest zawsze z przedziału <0,1>, czyli zawsze jest większe lub równe zero i mniejsze lub równe 1.
Obliczenie prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzenia A, polega na określeniu liczby zdarzeń sprzyjających |A| oraz liczby wszystkich możliwych zdarzeń |Ω|, a następnie skorzystaniu ze wzoru:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}[/tex]
Liczba wszystkich możliwych zdarzeń
Zacznijmy od obliczenia wszystkich możliwych zdarzeń, czyli |Ω|. Według polecenia losujemy 2 karty spośród 52 w talii. Losowanie takie, gdy nie liczy się kolejność losowania, wyrażamy za pomocą dwumianu Newtona:
[tex]|\Omega| = {52 \choose 2} =\frac{52!}{2!*(52-2)!}=\frac{52!}{2!*50!}=\frac{50!*51*52}{2!*50!}=\frac{51*52}{2}=1326[/tex]
Liczba zdarzeń sprzyjających
Teraz musimy policzyć liczbę zdarzeń sprzyjających |A|, czyli takich które spełniają warunek jaki postawiliśmy w pytaniu. Pytanie jest w tym przypadku o wylosowanie co najmniej jednego króla. Króle są w talii dokładnie 4. Mamy zatem dwa przypadki:
- wylosowania jednego króla i jednej dowolnej karty: [tex]{4\choose1}*{48\choose1}[/tex]
Pierwszy czynnik odnosi się do losowania 1 króla spośród 4 możliwych, natomiast drugi odnosi się do losowania jednej dowolnej karty z pozostałych 48, które nie są królami. - wylosowania dwóch królów z czterech możliwych: [tex]{4\choose2}[/tex]
Sumujemy oba przypadki i mamy:
[tex]|A| = {4\choose1}* {48\choose1}+ {4\choose2}\\{4\choose1} = \frac{4!}{1!*(4-1)!} = \frac{3!*4}{1*3!}=4 \\{48\choose1} = \frac{48!}{1!*(48-1)!} = \frac{47!*48}{1*47!}=48\\ {4\choose2} = \frac{4!}{2!*(4-2)!} = \frac{2!*3*4}{2*2!}=\frac{3*4}{2}=6\\ |A| = 4*48+6=198[/tex]
Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia
Podstawiamy teraz nasze liczby do wzoru na prawdopodobieństwo:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{198}{1326} =\frac{33}{221}[/tex]
Wniosek: Prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej jedna z wylosowanych kart jest królem wynosi 33/221
