Pole koła wpisanego w trójkąt równoramienny wynosi [tex]\frac{81}{4} \pi[/tex] [tex]cm^{2}[/tex].
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Należy wyznaczyć długość ramion trójkąta równoramiennego za pomocą twierdzenia Pitagorasa, znając długość podstawy (18 cm) oraz wysokości (12 cm):
[tex]12^{2} +\frac{18}{2} ^{2} =x^{2}[/tex]
[tex]144+81=x^{2}[/tex]
[tex]x^{2} =225\\x=15 [cm]\\[/tex]
2. Obliczyć pole trójkąta korzystając ze wzoru uwzględniającego połowę obwodu trójkąta, który ma postać:
[tex]P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\gdzie: p=\frac{a+b+c}{2}[/tex]
p-połowa obwodu trójkąta
a,b,c - długości poszczególnych boków (w naszym przypadku 15(cm), 15(cm), 18(cm)
[tex]p=\frac{15+15+18}{2} =\frac{48}{2} =24[/tex]
[tex]P=\sqrt{24(24-15)(24-15)(24-18)} \\P=\sqrt{11 664} \\P= 108 [cm^{2} ][/tex]
3.Wyznaczyć promień koła wpisanego w trójkąt równoramienny z następującej zależności:
[tex]P=p*r[/tex]
[tex]P=\frac{1}{2} (a+b+c)*r[/tex]
Wiedząc, że pole trójkąta równobocznego jest równe iloczynowi połowy obwodu trójkąta równoramiennego i promieniu koła wpisanego w tej trójkąt.
[tex]P=\frac{1}{2} (15+15+18)*r=\frac{1}{2} *48*r=24*r\\[/tex]
czyli
[tex]108=24*r\\r=\frac{108}{24} =\frac{9}{2} [cm][/tex]
4. Obliczyć pole koła wpisanego w trójkąt równoramienny:
[tex]P_{kola} =\pi r^{2} =\pi (\frac{9}{2} )^{2} =\frac{81}{4} \pi [cm^{2}][/tex]