Odpowiedź :
Jeśli ciąg a1, a2,... zdefiniowany jest warunkami a1 = 1 oraz [tex](a_{n+1})^3=99(a_n)^3[/tex] dla n ≥1, wówczas:
[tex]a_{100}=(\sqrt[3]{99} )^{99}=99^{33}[/tex]
Ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny jest to taki ciąg, w którym każdy następny wyraz jest mnożony razy jakąś wielkość q. Wzór na n-ty wyraz takiego ciągu to:
[tex]a_n=a_1*q^{n-1}[/tex]
Wiemy, że nasz ciąg wyraża się wzorem:
[tex](a_{n+1})^3=99(a_n)^3[/tex]
Spierwiastkujmy to równanie obustronnie:
[tex](a_{n+1})^3=99(a_n)^3\\a_{n+1}=\sqrt[3]{99}a_n[/tex]
Widzimy, że nasz ciąg jest geometryczny, ponieważ następny wyraz tego ciągu jest równy poprzedniemu, pomnożonemu razy pierwiastek trzeciego stopnia z 99. Zatem nasze q:
[tex]q=\sqrt[3]{99}[/tex]
Skorzystajmy z wzoru na n-ty wyraz ciągu, pamiętając, że a1=1:
[tex]a_n=1*(\sqrt[3]{99} )^{n-1}[/tex]
Podstawmy za n = 100:
[tex]a_{100}=(\sqrt[3]{99} )^{100-1}=(\sqrt[3]{99} )^{99}=99^{33}[/tex]
Wniosek: Setny wyraz tego ciągu jest równy [tex]99^{33}[/tex]
