Równanie kwadratowe z parametrem. Wzory Viete'a.
[tex]\huge\boxed{m\in(\sqrt2,\ 2)}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Dane jest równanie:
[tex]x^2-2mx+m^3-2m=0[/tex]
Równanie ma posiadać dwa różne rozwiązania dodatnie.
W związku z tym otrzymujemy układ:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a\neq0&(1)\\\Delta > 0&(2)\\x_1+x_2 > 0&(3)\\x_1\cdot x_2 > 0&(4)\end{array}\right[/tex]
[tex](1)\ a=1\neq0\\\\\boxed{m\in\mathbb{R}}[/tex]
[tex](2)\ \Delta > 0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\a=1,\ b=-2m,\ c=m^3-2m\\\\\Delta=(-2m)^2-4\cdot1\cdot(m^3-2m)=4m^2-4m^3+8m=-4m^3+4m^2+8m\\\\\Delta > 0\iff-4m^3+4m^2+8m > 0\\\\-4m(m^2-m-2) > 0\\\\-4m(m^2+m-2m-2) > 0\\\\-4m\left[m(m+1)-2(m+1)\right] > 0\\\\-4m(m+1)(m-2) > 0\\\\^{\ \ m=0\ \ m=-1\ \ \ \ m=2[/tex]
Kreślimy falę znaków i odczytujemy rozwiązanie:
[tex]\boxed{m\in(-\infty,-1)\ \cup\ (0,\ 2)}[/tex]
[tex](3)\ x_1+x_2 > 0\iff\dfrac{-b}{a} > 0\\\\\dfrac{-(-2m)}{1} > 0\\\\2m > 0\qquad|:2\\\\m > 0\\\\\boxed{m\in(0,\ \infty)}[/tex]
[tex](4)\ x_1\cdot x_2 > 0\iff\dfrac{c}{a} > 0\\\\\dfrac{m^3-2m}{1} > 0\\\\m^3-2m > 0\\\\m(m^2-2) > 0\\\\m\left[m^2-\left(\sqrt2\right)^2\right] > 0\\\\m(m-\sqrt2)(m+\sqrt2) > 0\\\\^{m=0\ \ m=\sqrt2\ \ m=-\sqrt2}[/tex]
Kreślimy falę znaków i odczytujemy rozwiązanie:
[tex]\boxed{m\in(-\sqrt2,\ 0)\ \cup\ (\sqrt2,\ \infty)}[/tex]
Czyli otrzymujemy:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}m\in\mathbb{R}&(1)\\m\in(-\infty,-1)\ \cup (0, 2)&(2)\\m\in(0,\ \infty)&(3)\\m\in(-\sqrt2,\ 0)\ \cup\ (\sqrt2,\ \infty)&(4)\end{array}\right[/tex]
Z części wspólnej mamy:
[tex]\boxed{m\in(\sqrt2,\ 2)}[/tex]
