W prostokącie ABCD poprowadzono przekątną AC. Odcinek DE prostopadły do przekątnej AC i taki, że E € AB, przecina się z przekątną AC w punkcie F. a) Które z powstałych trójkątów są podobne do trójkąta ACD? Odpowiedź uzasadnij. b) Wiedząc dodatkowo, że |DF| = 12 cm, |EF| = 3 cm, oblicz długość przekątnej AC.

cecha bok-bok-bok - stosunki odpowiadających sobie boków są równe;
cecha bok-kąt-bok - stosunki dwóch odpowiadających sobie boków są równe i miary kątów między nimi są takie same;
cechy kąt-kąt-kąt - miary odpowiadających sobie kątów są takie same.

Jeśli mamy trójkąty podobne, możemy policzyć skalę podobieństwa. Oznaczamy ją jako k. Jeśli w jednym trójkącie jeden z boków oznaczymy jako a, a w drugim trójkącie odpowiadający mu bok jako [tex]a_1[/tex], to skalę podobieństwa możemy policzyć jako [tex]k=\frac{a}{a_1}[/tex] lub [tex]k=\frac{a_1}{a}[/tex].

Mamy prostokąt ABCD, gdzie odcinek AC to przekątna. Odcinek DE (gdzie [tex]E\in AB[/tex]) jest prostopadły do przekątnej AC i przecina ją w punkcie F.

a) Powstało pięć trójkątów prostokątnych: ACD, ABC, AEF, AFD, FCD. Sprawdzimy, które trójkąty są podobne do trójkąta ACD.

Oznaczmy w trójkącie kąty ostre: ACD jako [tex]\alpha[/tex], CAD jako [tex]\beta[/tex]. Mamy [tex]\alpha+\beta=90^o[/tex]. Zatem kąt ACB będzie miał miarę [tex]\beta[/tex], kąt BAC - miarę [tex]\alpha[/tex]. Kąt o mierze [tex]\alpha[/tex] to również ADF, kątami o mierze [tex]\beta[/tex] są również FDC i AEF (rysunek z zaznaczonymi kątami w załączniku). Zatem wszystkie powstałe trójkąty prostokątne mają takie same miary kątów ostrych. Zatem z cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt trójkątami podobnymi do ACD są trójkąty: ABC, AEF, AFD oraz FCD.

b) Wiemy, że [tex]|DF|=12cm[/tex] oraz [tex]|EF|=3cm[/tex]. Znajdziemy długość przekątnej AC.

Wiemy, że trójkąty AEF oraz AFD są podobne. Zatem ich skalę podobieństwa możemy zapisać jako:

[tex]k=\frac{|AF|}{|EF|} \quad \text{lub} \quad k=\frac{|DE|}{|AF|}\\k=\frac{x}3 \quad \text{lub} \quad k=\frac{12}x[/tex]

Możemy przyrównać te wartości do siebie. Dostaniemy równanie, z którego wyznaczymy długość odcinka AF.

[tex]\frac{x}3=\frac{12}x/*x\\\frac{x^2}3=12/*3\\x^2=36/\sqrt{}\\x=6cm[/tex]

W podobny sposób wyznaczymy długość odcinka CF. Wiemy, że trójkąty AFD i FCD są podobne. Mamy zatem:

[tex]k_1=\frac{|AF|}{|DF|} \quad \text{lub} \quad k_1=\frac{|DF|}{|CF|}\\k_1=\frac6{12} \quad \text{lub} \quad k_1=\frac{12}y\\\frac6{12}=\frac{12}y/*y\\\frac{6y}{12}=12/*12\\6y=144/:6\\y=24cm[/tex]

Długość przekątnej AC wynosi:

[tex]|AC|=x+y=6+24=30cm[/tex].

#SPJ4