Odpowiedź :
Długości boków prostokąta ABCD wynoszą [tex]\sqrt{30}[/tex] i [tex]\sqrt6[/tex].
Podobieństwo trójkątów
Mówimy, że dwa trójkąty są podobne, jeśli stosunki odpowiadających sobie boków są równe. W trójkątach podobnych odpowiadające sobie kąty mają takie same miary.
Jeśli w jednym trójkącie pewien bok oznaczymy jako [tex]a[/tex], a w drugim trójkącie odpowiadający mu bok jako [tex]a_1[/tex], to skalę podobieństwa możemy policzyć jako [tex]k=\frac{a}{a_1}[/tex] lub [tex]k=\frac{a_1}{a}[/tex].
Mamy następujące cechy podobieństwa trójkątów:
- cecha bok-bok-bok - stosunki odpowiadających sobie boków są równe;
- cecha bok-kąt-bok - stosunki odpowiadających sobie dwóch boków są sobie równe oraz kąty między nimi mają takie same miary;
- cecha kąt-kąt-kąt - odpowiadające sobie kąty mają takie same miary.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa mówi nam, że jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Jeśli długości przyprostokątnych oznaczymy jako a i b, a długość przeciwprostokątnej jako c, to powyższe twierdzenie możemy zapisać w postaci równości:
[tex]a^2+b^2=c^2[/tex].
Mamy prostokąt ABCD, gdzie AC jest przekątną i punkt E należy do tej przekątnej oraz odcinek DE jest prostopadły do AC. Znamy długości odcinków [tex]|AE|=1,|CE|=5[/tex].
Powstałe trójkąty ABC, AED i ECD są trójkątami prostokątnymi. Oznaczmy kąt BAC jako [tex]\alpha[/tex], a kąt BCA jako [tex]\beta[/tex]. Mamy [tex]\alpha+\beta=90^o[/tex]. Miarę [tex]\alpha[/tex] mają również kąty ADE i ECD. Miarę [tex]\beta[/tex] mają również kąty DAE i EDC. Z cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt trójkąty ABC, AED i ECD są podobne.
Skalę podobieństwa trójkątów AED i ECD możemy zapisać jako (zgodnie z oznaczeniami na rysunku w załączniku):
[tex]k=\frac1x \quad \text{lub} \quad k=\frac{x}5[/tex].
Możemy przyrównać do siebie te wartości i dostaniemy równanie, z którego wyznaczymy długość odcinka DE.
[tex]\frac1x=\frac{x}5/*5\\x=\frac5x/*x\\x^2=5/\sqrt{}\\x=\sqrt5[/tex]
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy długości boków prostokąta a i b.
Dla trójkąta ECD mamy:
[tex]a^2=5^2+(\sqrt5)^2\\a^2=25+5\\a^2=30/\sqrt{}\\a=\sqrt{30}[/tex]
Dla trójkąta AED mamy:
[tex]b^2=1^2+(\sqrt5)^2\\b^2=1+5\\b^2=6/\sqrt{}\\b=\sqrt6[/tex]
Zatem długości boków prostokąta ABCD są równe [tex]\sqrt{30}[/tex] i [tex]\sqrt6[/tex].
#SPJ4
