Odpowiedź:
f(x) = a*( x - 2)² - 4, a ≠ 0 < - 4, -2 >
1) Dla a > 0
f ma ramiona skierowane do góry, czyli f maleje dla x < p =2
Wtedy
y_{max} = f( - 4) = 12 ⇔ a*( - 4 -2)² - 4 = 12 ⇔ 36 a = 16 ⇔ a = [tex]\frac{4}{9}[/tex]
oraz f(x) = [tex]\frac{4}{9} *( x - 2)[/tex]² - 4
więc
y_{min} = f( - 2) = [tex]\frac{4}{9}* ( -2 - 2)^2 - 4 = \frac{64}{9} - \frac{36}{9} = \frac{28}{9} = 3 \frac{1}{9}[/tex]
===============================================
2) Dla a < 0 to wtedy f ma ramiona skierowane do dołu , czyli f rośnie
dla x < p = 2
y_{max} = f(-2) = a*( -2 - 2)² - 4 = 16 a - 4 = 12 ⇔ 16 a = 16 ⇔ a = 1
sprzeczność.
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\huge\boxed{y_{min}=\dfrac{28}{9}=3\dfrac{1}{9}}[/tex]
Postać kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
[tex](p,\ q)[/tex] - współrzędne wierzchołka
Dany jest wzór funkcji [tex]f(x)=a(x-2)^2-4[/tex].
Funkcja ta przyjmuje wartość największą w przedziale ⟨−4,−2⟩ równą 12.
Ze wzoru funkcji odczytujemy wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji: (2, -4),
Jak widzimy, że odcięta wierzchołka x = 2 nie należy do danego przedziału oraz dla x ∈ ⟨−4,−2⟩ przyjmuje wartość większą niż w wierzchołku. W związku z tym a > 0.
Zatem funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla x = -2 i wartość największą dla x = -4.
Podstawiamy do wzoru funkcji x = -4 i f(x) = 12 i obliczamy wartość a:
[tex]a(-4-2)^2-4=12\qquad|+4\\\\(-6)^2a=16\\\\36a=16\qquad|:36\\\\a=\dfrac{16}{36}\\\\\boxed{a=\dfrac{4}{9}}[/tex]
[tex]f(x)=\dfrac{4}{9}(x-2)^2-4[/tex]
Obliczamy wartość najmniejszą podstawiając x = -2:
[tex]y=\dfrac{4}{9}(-2-2)^2-4\\\\y=\dfrac{4}{9}\cdot(-4)^2-4\\\\y=\dfrac{4}{9}\cdot16-4\\\\y=\dfrac{64}{9}-\dfrac{36}{9}\\\\\boxed{y=\dfrac{28}{9}}[/tex]