[tex]\huge\boxed{x\in\mathbb{Z}}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Pamiętamy, że:
1. Potęgując liczbę ujemną otrzymujemy wynik
- dodatni, gdy wykładnik potęgi jest parzysty;
- ujemny, gdy wykładnik potęgi jest nieparzysty.
2. Mnożąc/dzieląc parzystą ilość liczb ujemnych otrzymujemy wynik dodatni.
W związku z tym:
[tex](-1)^{-10}=1\\\\(-1)^{-7}=-1\\\\(-1)^{-9}=-1\\\\(-1)^{-13}=-1[/tex]
Zatem nasze równanie przyjmuje postać:
[tex]\dfrac{(-1)^{-10}:(-1)^x\cdot(-1)^{-7}}{(-1)^{-9}\cdot(-1)^x:(-1)^{-13}}=-1\\\\\dfrac{1:(-1)^x\cdot(-1)}{-1\cdot(-1)^x:(-1)}=-1[/tex]
Skorzystamy z przemienności mnożenia: a · b = b · a
[tex]\dfrac{(-1)\cdot1:(-1)^x}{(-1)^x\cdot(-1):(-1)}=-1\\\\\dfrac{-1:(-1)^x}{(-1)^x\cdot1}=-1\\\\\dfrac{-1:(-1)^x}{(-1)^x}=-1[/tex]
Skorzystamy z twierdzeń:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\qquad\text{dla}\ a\neq0[/tex]
[tex]\dfrac{-1:(-1)^x}{(-1)^x}=-1\\\\(-1)^{1-x-x}=-1\\\\(-1)^{1-2x}=(-1)^1\iff1-2x=1\qquad|-1\\\\-2x=0\qquad|:(-2)\\\\\boxed{x=0}[/tex]
Oczywiście jest to jedno z rozwiązań, ponieważ prawą stronę równania możemy zapisać jako:
[tex]-1=(-1)^{2k+1}\qquad n\in\mathbb{Z}[/tex]
wykładnik jest nieparzysty
Stąd otrzymujemy całkowite rozwiązanie:
[tex](-1)^{1-2x}=(-1)^{2k+1}\iff1-2x=2k+1\qquad|-1\\\\-2x=2k\qquad|:(-2)\\\\\boxed{x=-k}\to\boxed{x\in\mathbb{Z}}[/tex]
