Twierdzenie sinusów.
[tex]\huge\boxed{39)\ \gamma=105^o}\\\boxed{40)\ c=3\sqrt6}[/tex]
ROZWIĄZANIA:
Twierdzenie sinusów:
a, b, c - długości boków trójkąta
α, β, γ - kąty leżące odpowiednio naprzeciw boków a, b, c
[tex]\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}[/tex]
Zad.39
Oznaczmy kąt wewnętrzny w wierzchołku A jako α.
Korzystając z twierdzenia sinusów otrzymujemy:
[tex]\dfrac{4}{\sin\alpha}=\dfrac{2\sqrt6}{\sin60^o}[/tex]
Wartość sin60° odczytujemy z tabeli.
[tex]\sin60^o=\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\dfrac{4}{\sin\alpha}=\dfrac{2\sqrt6}{\dfrac{\sqrt3}{2}}[/tex]
Mnożymy na krzyż:
[tex]2\sqrt6\sin\alpha=4\!\!\!\!\diagup^2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup_1}\qquad|:2\sqrt6\\\\\sin\alpha=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup^2\sqrt3\!\!\!\!\diagup^1}{2\!\!\!\!\diagup_1\sqrt6\!\!\!\!\diagup_2}\\\\\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}\\\\\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}[/tex]
Z tabeli odczytujemy miarę kąta:
[tex]\alpha=45^o[/tex]
Twierdzenie:
Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180°.
Stąd:
[tex]\gamma=180^o-(45^o+60^o)\\\\\gamma=180^o-105^o\\\\\boxed{\gamma=105^o}[/tex]
Zad.40
Obliczmy miarę kąta ACD:
[tex]|\angle ACD|=180^o-(30^o+120^o)\\\\|\angle ACD|=180^o-150^o\\\\|\angle ACD|=30^o[/tex]
Wnioskujemy stąd, że ΔACD jest trójkątem równoramiennym.
Twierdzenie cosinusów:
a, b, c - długości boków trójkąta
α - kąt leżący naprzeciw boku a
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex]
Podstawiamy:
[tex]b=6,\ c=6,\ \alpha=120^o[/tex]
[tex]a^2=6^2+6^2-2\cdot6\cdot6\cdot\cos120^o[/tex]
Aby obliczyć wartość cos120° skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:
[tex]\cos(180^o-\alpha)=-\cos\alpha[/tex]
[tex]\cos120^o=\cos(180^o-60^o)=-\cos60^o=-\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]a^2=36+36-72\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\\\a^2=72+36\\\\a^2=108\to a=\sqrt{108}\\\\a=\sqrt{36\cdot3}\\\\a=\sqrt{36}\cdot\sqrt3\\\\\boxed{a=6\sqrt3}[/tex]
Korzystamy z twierdzenia sinusów:
[tex]\dfrac{c}{\sin30^o}=\dfrac{6\sqrt3}{\sin45^o}[/tex]
Wartości funkcji odczytujemy z tabeli
[tex]\sin30^o=\dfrac{1}{2},\ \sin45^o=\dfrac{\sqrt2}{2}[/tex]
[tex]\dfrac{c}{\frac{1}{2}}=\dfrac{6\sqrt3}{\frac{\sqrt2}{2}}[/tex]
mnożymy na krzyż
[tex]\dfrac{\sqrt2}{2}c=\dfrac{1}{2\!\!\!\!\diagup_1}\cdot6\!\!\!\!\diagup^3\sqrt3\\\\\dfrac{\sqrt2}{2}c=3\sqrt3\qquad|\cdot\sqrt2\\\\\dfrac{2}{2}c=3\sqrt{3\cdot2}\\\\\boxed{c=3\sqrt6}[/tex]
