Logarytmy.
Nie istnieją takie rzeczywiste wartości parametru m, dla których dziedziną funkcji f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych.
ROZWIĄZANIE:
Definicja logarytmu:
[tex]\log_ab=c\iff a^c=b\qquad a,b > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
Aby dziedziną funkcji
[tex]f(x)=\log_{m-2}(x^2+(m+4)x+m+2)[/tex]
był zbiór liczb rzeczywistych, to wyróżnik trójmianu kwadratowego z parametrem musi być liczbą ujemną.
Założenia:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}m-2 > 0&(1)\\m-2\neq1&(2)\\\Delta < 0&(3)\end{array}\right[/tex]
[tex](1)\ m-2 > 0\qquad|+2\\\\\boxed{m > 2\to m\in(2,\ \infty)}[/tex]
[tex](2)\ m-2\neq1\qquad|+2\\\\\boxed{m\neq3\to m\in\mathbb{R}-\{3\}}[/tex]
[tex](3)\ \Delta < 0\\\\a=1,\ b=m+4,\ c=m+2\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(m+4)^2-4\cdot1\cdot(m+2)=m^2+8m+16-4m-8=m^2+4m+8 < 0[/tex]
Widzimy, że ten trójmian kwadratowy przyjmuje tylko wartości dodatnie:
[tex]m^2+4m+8 < 0\\\\m^2+4m+4+4 < 0\qquad|-4\\\\m^2+2\cdot m\cdot2+2^2 < -4\\\\(m+2)^2 < -4[/tex]
Otrzymujemy nierówność sprzeczną.
WNIOSEK:
Nie istnieją takie rzeczywiste wartości parametru m, dla których dziedziną funkcji f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych.
