Oblicz współczynniki kierunkowe prostych w których zawierają się boki czworokąta PQRS. Uzasadnij,że czworokąt ten jest trapezem. P(0,-5),Q(9,1),R(6,11),S(-6,3).

Współczynnik liniowy prostej to współczynnik określający tanges kąta nachylenia prostej do osi OX. We wzorze na prostą, który prezentuje się następująco:

[tex]y=ax+b[/tex]

współczynnik kierunkowy oznaczamy jako literę a.

Mając dwa punkty [tex]A=(x_{A} ,y_A} )[/tex] i [tex]B=(x_{B} ,y_B} )[/tex], przez które przechodzi określona prosta możemy znaleźć współczynnik kierunkowy tej prostej, dzięki skorzystaniu z następującego wzoru:

[tex]a=\frac{y_{B} -y_{A} }{x_{B} -x_{A} }[/tex] .

Obliczmy więc kolejne współczynniki kierunkowe dla naszych prostych. Proste te będą zawierały kolejne boki naszego czworokąta, tak więc będą zawierały kolejne dwa punkty naszego czworokąta.

Dla prostej przechodzącej przez punkty:

P i Q mamy (ta prosta zawiera bok PQ):

[tex]a_{PQ}=\frac{1 -(-5) }{9 -0 }=\frac{1 +5 }{9 }=\frac{6}{9} =\frac{2}{3}[/tex]

Q i R mamy (ta prosta zawiera bok QR):

[tex]a_{QR}=\frac{11 -1 }{6 -9 }=\frac{10 }{-3 }=-\frac{10}{3}[/tex]

R i S mamy (ta prosta zawiera bok RS):

[tex]a_{RS}=\frac{3 -11 }{-6 -6 }=\frac{-8 }{-12 }=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}[/tex]

S i P mamy (ta prosta zawiera bok SP):

[tex]a_{SP}=\frac{-5-3}{0-(-6) }=\frac{-8 }{6 }=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}[/tex]

Mamy już obliczone kolejne współczynniki kierunkowe prostych, w których zawierają się boki czworokąta PQRS. Przejdźmy teraz do drugiej części zadania, musimy tutaj uzasadnić, że nasz czworokąt jest trapezem. Czym właściwie jest trapez?

Trapez to figura geometryczna, która posiada co najmniej jedną parę boków równoległych.

Więc musimy sprawdzić, czy mamy jakąś parę prostych równoległych.

Skorzystamy z twierdzenia mówiącego, że:

Dwie proste są równoległe, wtedy gdy ich współczynniki kierunkowe są sobie równe, czyli:

[tex]a_{1} =a_{2}[/tex]

Sprawdźmy więc, czy wśród naszych współczynników kierunkowych prostych, nie ma dwóch jednakowych. Gdy przyjrzymy się powyższym obliczeniom widać, że współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki PQ i RS są sobie równe ( [tex]a_{PQ} =a_{RS} =\frac{2}{3}[/tex] ). Oznacza, to że proste zawierające te dwa boki są do siebie równoległe, a z tego wynika, że nasz czworokąt jest trapezem.