Hej!
Rozbijemy sobie domek na dwie bryly: graniastoslup o podstawie prostokata oraz graniastoslup o podstawie trojkata.
I.
[tex]h=x\\a=2x\\b=?\\Ob=32dm\\Ob=2a+2b\\32dm=2*2x+2b\\32dm=4x+2b /-4x\\32-4x=2b /:2\\16-2x[/tex]
[tex]V_1=a*b*h=2x(16-2x)*x=2x^2(16-2x)=32x^2-4x^3[/tex]
II.
W tresci podane jest, ze wysokosc domku w najdluzszym punkcie to 5dm. Najdluzszy punkt, to wysokosc poprowadzona z wierzcholka domku do podstawy o dlugosci 2x.
Wynika z tego, ze wysokosc trojkata (bedacego podstawa drugiego graniastoslupa, ktory liczymy) ma dlugosc 5-x.
[tex]a=2x\\h=5-x\\H=b=16-2x\\\\Pp=\frac{2x(5-x)}2=x(5-x)=5x-x^2\\V_2=(16-2x)(5x-x^2)=80x-16x^2-10x^2+2x^3=2x^3-26x^2+80x[/tex]
Objetosc domku to suma objetosci dwoch bryl.
[tex]V=V_1+V_2\\V=-4x^3+32x^2+2x^3-26x^2+80x=-2x^3+6x^2+80x[/tex]
[tex]a) \\\underline{V(x)=-2x^3+6x^2+80x}[/tex]
[tex]b)\\\\-2x^3+6x^2+80x < 240 /-240\\-2x^3+6x^2+80x-240 < 0\\-2x^2(x-3)+80(x-3) < 0\\(-2x^2+80)(x-3) < 0\\-2(x^2+40)(x-3) < 0\\\\-2x^2+80 < 0\\\Delta=0-4*(-2)*80=640\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{640}=\sqrt{64*10}=8\sqrt{10}\\x_1=\frac{-8\sqrt{10}}{-4}=2\sqrt{10}\\x_2=\frac{8\sqrt{10}}{-4}=-2\sqrt{10}\\x\in(-\infty; -2\sqrt{10})\cup(2\sqrt{10}; \infty)\\\\x-3 < 0 /+3\\x < 3\\\\\text{Rozwiazanie nierownosci: }x\in(-2\sqrt{10}; 3)\cup(2\sqrt{10}; \infty)}[/tex]
Z tym, ze dlugosc krawedzi domku nie moze byc liczba ujemna.
Zatem:
[tex]x > 0\\x\in(0; 3)\cup(2\sqrt{10};\infty)[/tex]
Odp. Objetosc jest mniejsza od 240dm³ dla x z przedzialu: [tex](0; 3)\cup(2\sqrt{10}; \infty)[/tex]
