Odpowiedź :
Przy rzucie trzema kostkami prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła piątka, jeżeli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek wynosi [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B liczymy korzystając ze wzoru:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
gdzie:
P(A|B) - oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B
P(A∩B) - iloczyn (część wspólna) zajścia zdarzeń A oraz B
P(B) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B
Rozwiązanie:
1) Obliczamy wszystkie możliwości, przy rzucie 3 kostkami:
|Ω| = [tex]6^{3} = 216[/tex]
2) Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A, że piątka nie wypadła na żadnej kostce:
|A| = 5*5*5 = 125
Ponieważ przy każdym rzucie mamy 5 możliwości (1,2,3,4,6).
3) Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia B, że na każdej kostce wypadła inna liczba:
|B| = 6*5*4 = 120
P(B) = [tex]\frac{6*5*4}{6^{3} }[/tex]
Ponieważ przy pierwszym rzucie mamy 6 możliwości a przy kolejnych o jedną mniej, żeby się nie powtarzały.
4) Obliczamy prawdopodobieństwo, że nie wypadła 5 i jednocześnie na każdej kostce wypadła inna liczba:
A∩B = 5*4*3 = 60
P(A∩B) = [tex]\frac{5*4*3}{6^{3} }[/tex]
Ponieważ w pierwszym rzucie nie mogła wypaść piątka więc mamy 5 możliwości, w kolejnym nie mogła wypaść 5 i liczba z pierwszego rzutu, więc mamy 4 możliwości, a w trzecim rzucie nie mogła wypaść 5 oraz liczby z rzutu pierwszego i drugiego, więc mamy 3 możliwości.
5) Obliczamy prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła piątka pod warunkiem, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
[tex]P(A|B) = \frac{\frac{5*4*3}{6^{3}} }{\frac{6*5*4}{6^{3} } } = \frac{5*4*3}{6^{3}} *\frac{6^3}{6*5*4 } = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}[/tex]
Prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła piątka pod warunkiem, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek wynosi [tex]\frac{1}{2}[/tex].
