Odpowiedź :
Zbiór 7-elementowy ma 64 podzbiory o liczbie elementów większej niż 3.
Obliczanie ilości podzbiorów
Do obliczania ilości k-elementowych podzbiorów n-elementowego zbioru używamy tak zwanego symbolu Newtona lub inaczej współczynnika dwumianowego. Oznacza się go tak:
[tex]{n \choose k}[/tex]
Oblicza się go przy pomocy wzoru:
[tex]{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]
gdzie "!" oznacza silnię czyli:
[tex]n!=1*2*3*...*n[/tex]
Podzbiory 4-elementowe
Mamy policzyć wszystkie podzbiory o liczbie elementów większej niż 3. Zacznijmy więc od zbiorów o dokładnie 4 elementach.
Według podanego wcześniej wzoru mamy:
k=4
n=7
więc:
[tex]{7 \choose 4}=\frac{7!}{4!(7-4)!}=\frac{4!*5*6*7}{4!*3!}=\frac{5*6*7}{1*2*3}=5*7=35[/tex]
Czyli jest dokładnie 35 4-elemntowych podzbiorów.
Podzbiory 5-elementowe
Ich ilość obliczamy podobnie jak poprzednio z tym, że teraz k=5.
[tex]{7\choose5}=\frac{7!}{5!(7-5)!}=\frac{5!*6*7}{5!*2!}=\frac{6*7}{2}=3*7=21[/tex]
Mamy więc dokładnie 21 5-elemetowych zbiorów.
Podzbiory 6-elementowe
Tym razem k=6:
[tex]{7\choose6}=\frac{7!}{6!(7-6)!}=\frac{6!*7}{6!*1!}=7[/tex]
Mamy więc 7 6-elementowych podzbiorów.
Podzbiory 7-elementowe
Teraz k=7 możemy więc zobaczyć, że będzie tylko jeden taki zbiór (pamiętamy, że kolejność w zbiorach nie ma znaczenia):
[tex]{7\choose7}=\frac{7!}{7!(7-7)!}=\frac{1}{0!}=\frac{1}{1}=1[/tex]
Liczba wszystkich podzbiorów o 3 i więcej elementach
Sumujemy więc obliczone ilości zbiorów:
35+21+7+1=64
Wniosek: Zbiór 7-elementowy ma 64 zbiory o liczbie elementów większej niż 3.
