Rozwiązanie:
Na początek zauważmy, że prawdziwe muszą być nierówności:
[tex]$a\leq \sqrt{2}[/tex]
[tex]b\leq \sqrt{2}[/tex]
[tex]c\leq \sqrt{2}[/tex]
ponieważ nigdy nie uzyskamy boku trójkąta dłuższego niż przekątna kwadratu, w którym jest zawarty.
Stąd wynika, że iloczyn dwóch dowolnie wybranych boków trójkąta jest nie większy niż [tex]2[/tex]. Stosując wzór na pole trójkąta z sinusem kąta pomiędzy tymi (wybranymi) bokami, zawsze uzyskamy rezultat mniejszy niż ten właśnie sinus.
Dla zobrazowania weźmy pod uwagę rysunek z zadania. Rozważmy boki [tex]a,b[/tex] oraz kąt [tex]\gamma[/tex]. Wiadomo, że [tex]a\leq \sqrt{2}[/tex] i [tex]b\leq \sqrt{2}[/tex], a stąd [tex]ab\leq 2[/tex]. Jeżeli chodzi o pole trójkąta:
[tex]$P=\frac{1}{2} ab \sin \gamma\leq \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin \gamma=\sin \gamma \iff P \leq \sin \gamma[/tex]
Dla innych boków i kąta wniosek jest analogiczny. To kończy dowód.
