Odpowiedź :
Współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD, jeśli A=(5,-5/3), a przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu y=4/3x:
Współrzędne punktu przecięcia przekątnych: [tex](1,\frac{4}{3} )[/tex]
Pole kwadratu: [tex]50[j^2][/tex]
Współrzędne punktu przecięcia przekątnych
Będziemy potrzebować równania drugiej przekątnej. Wiemy, że w kwadracie przekątne przecinają się pod kątem prostym, a zatem są do siebie prostopadłe. Wiemy również, że proste są do siebie prostopadłe, jeśli współczynniki kierunkowe tych prostych spełniają równość:
[tex]a_1*a_2=-1[/tex]
Podstawiając jeden współczynnik z prostej z zadania otrzymujemy:
[tex]\frac{4}{3}*a_2=-1\\ a_2=-\frac{3}{4}[/tex]
zatem druga przekątna będzie miała postać:
[tex]y=-\frac{3}{4}x+b[/tex]
Aby obliczyć b, musimy podstawić współrzędne punktu A, ponieważ wiemy, że przekątna ma przez niego przechodzić:
[tex]-\frac{5}{3} =-\frac{3}{4}*5+b\\-\frac{5}{3} =-\frac{15}{4} +b\\b=-\frac{5}{3} + \frac{15}{4}\\b=-\frac{20}{12} +\frac{45}{12} \\b=\frac{25}{12}[/tex]
Zatem ostateczna postać równania drugiej przekątnej:
[tex]y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}[/tex]
Obliczmy więc punkt przecięcia tych prostych, czyli ich punkt wspólny:
[tex]\left \{ {{y=\frac{4}{3}x } \atop {y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}}} \right.[/tex]
Podstawimy za y i obliczamy:
[tex]\frac{4}{3}x=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}\\\frac{4}{3}x+\frac{3}{4}x=\frac{25}{12}\\\frac{16}{12}x+\frac{9}{12}x=\frac{25}{12}\\\frac{25}{12}x=\frac{25}{12}\\ x=\frac{25}{12}*\frac{12}{25} \\x=1[/tex]
zatem:
[tex]y=\frac{4}{3}*1= \frac{4}{3}[/tex]
Zatem współrzędne punktu przecięcia przekątnych to [tex](1,\frac{4}{3} )[/tex].
Pole kwadratu ABCD
Obliczając odległość punktu A od przekątnej BC otrzymamy połowę długości przekątnej tego kwadratu. Wzór na odległość punktu od prostej to:
[tex]d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }[/tex]
Zamieńmy równanie prostej, w której zawarta jest przekątna BC na postać ogólną:
[tex]y=\frac{4}{3}x\\ \frac{4}{3}x-y=0[/tex]
zatem:
[tex]A=\frac{4}{3}\\ B=-1\\C=0[/tex]
Podstawiamy do wzoru:
[tex]d=\frac{|\frac{4}{3} *5+(-1)*(-\frac{5}{3} )|}{\sqrt{(\frac{4}{3})^2+(-1)^2} }[/tex]
[tex]d=\frac{|\frac{20}{3} +\frac{5}{3}|}{\sqrt{\frac{16}{9}+1} }[/tex]
[tex]d=\frac{\frac{25}{3}}{\sqrt{\frac{25}{9}} }=\frac{25}{3}}*\frac{3}{5} =5[/tex]
Zatem przekątna tego kwadratu ma długość:
[tex]c=2*5=10[/tex]
Wiemy również, że:
[tex]c=a\sqrt{2}[/tex]
gdzie a-bok kwadratu
Obliczamy zatem bok kwadratu:
[tex]a\sqrt{2} =10\\a=\frac{10}{\sqrt{2} } \\a=\frac{10\sqrt{2} }{2} \\a=5\sqrt{2}[/tex]
Zatem pole tego kwadratu:
[tex]P=a^2=(5\sqrt{2} )^2=25*2=50[j^2][/tex]
