Rozwiązanie:
[tex]\bold{1.46}[/tex]
[tex]$f(x)=\Big(\frac{1}{4}\Big)^{x}[/tex]
[tex]\bold{a)}[/tex]
Symetrię względem punktu [tex]O(0,0)[/tex], czyli początku układu współrzędnych, uzyskamy poprzez następujące przekształcenie:
[tex]f(x) \to -f(-x)[/tex]
W naszym przypadku:
[tex]$-f(-x)=-\Big(\frac{1}{4}\Big)^{-x}=-4^{x}[/tex]
Teraz przesuwamy to równolegle o wektor [tex]\vec{u}=[3,2][/tex], czyli wykonujemy przekształcenie:
[tex]f(x) \to -f(-x) \to -f(-(x-3))+2[/tex]
Aby to było prostsze możemy ustalić, że [tex]p(x)=-4^{x}[/tex] i wówczas wygląda to tak:
[tex]f(x) \to p(x) \to p(x-3)+2[/tex]
Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji [tex]g(x)[/tex] :
[tex]$g(x)=-4^{x-3}+2=-\Big(\frac{1}{4}\Big)^{3-x}+2[/tex]
Wykres funkcji znajduje się w załączniku.
[tex]\bold{b)}[/tex]
Jeżeli liczba [tex]$3\frac{1}{2}[/tex] ma być miejscem zerowym, to musi zachodzić równość:
[tex]$g\Big(3\frac{1}{2}\Big)=0[/tex]
Po prostu sprawdzamy to, podstawiając [tex]$x=3\frac{1}{2}[/tex] :
[tex]$g\Big(3\frac{1}{2}\Big)=g\Big(\frac{7}{2}\Big)=-4^{\frac{7}{2}-3}+2=-4^{\frac{1}{2}}+2=-\sqrt{4} +2=-2+2=0[/tex]
Zatem faktycznie tak jest.
[tex]\bold{c)}[/tex]
[tex]$g(x)-\frac{1}{3}x\geq 0[/tex]
[tex]$g(x)\geq \frac{1}{3}x[/tex]
Wykres funkcji [tex]g(x)[/tex] już mamy. Aby rozwiązać tę nierówność graficznie nanosimy wykresy obu funkcji w jednym układzie, gdzie druga funkcja obok [tex]g(x)[/tex] to [tex]$y=\frac{1}{3}x[/tex] . Następnie odczytujemy rozwiązanie tj. gdzie (dla jakich argumentów) wykres funkcji [tex]g(x)[/tex] jest "wyżej" niż drugi wykres.
Rysunek w załączniku. Odczytana odpowiedź:
[tex]x\leq 3[/tex]
