Witaj :)
Naszym zadaniem jest rozwiązanie równania kwadratowego, oraz nierówności liniowej.
Równanie kwadratowe
[tex]\Huge \boxed{x^2-4x+4=0}[/tex]
Powyższe równanie zawiera sobie niewiadomą w drugiej potędze, więc jest to równanie kwadratowe. Zauważamy, że w tym przypadku mamy do czynienia ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch składników, który wygląda następująco:
[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
gdzie:
[tex]a=x\ \ \ \wedge \ \ \ b=2[/tex]
Wobec czego możemy zapisać nasze równanie jako:
[tex](x-2)^2=0[/tex]
Powyższe równanie będzie spełnione, jeżeli wyrażenie w nawiasie będzie równe 0, więc:
[tex]x-2=0[/tex]
Rozwiązujemy to równanie:
[tex]x-2=0\ /+2\\x=2[/tex]
Więc możemy zapisać, że:
[tex]\Huge \boxed{x^2-4x+4=0\iff x\in\{2\}}[/tex]
Odpowiedź.: Powyższe równanie jest spełnione dla x=2.
Nierówność liniowa
[tex]\Huge \boxed{2x+3+x\sqrt{3}\leq 4}[/tex]
Aby rozwiązać powyższą nierówność, musimy dojść do sytuacji, że po stronie lewej będziemy mieli niewiadomą "x", a po stronie prawej liczbę. W pierwszej kolejności odejmiemy obustronnie liczbę 3:
[tex]2x+3+x\sqrt{3}\leq 4\ /-3\\2x+x\sqrt{3}\leq 4-3\\2x+x\sqrt{3}\leq 1[/tex]
Teraz wyciągniemy nasz "x" przed nawias i otrzymamy:
[tex]x(2+\sqrt{3})\leq 1[/tex]
Dzielimy obustronnie przez wyrażenie w nawiasie:
[tex]x(2+\sqrt{3})\leq 1\ /:(2+\sqrt{3})\\\\x\leq \frac{1}{2+\sqrt{3}}[/tex]
Usuwamy niewymierność po stronie prawej, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez liczbę sprzężoną do mianownika:
[tex]x\leq \frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \\\\x\leq \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}[/tex]
Zauważamy, że w mianowniku mamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch składników:
[tex](a-b)(a+b)=a^2-b^2,\ gdzie:\ \ a=2\ \ \ \wedge\ \ \ b=\sqrt{3}[/tex]
Więc:
[tex]x\leq \frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2} \\\\x\leq \frac{2-\sqrt{3}}{4-3}\\ \\x\leq \frac{2-\sqrt{3}}{1}\\ \\x\leq 2-\sqrt{3}[/tex]
Wobec powyższego możemy zapisać, że:
[tex]x\in(-\infty ; 2-\sqrt{3} >[/tex]
Czyli:
[tex]\huge \boxed{2x+3+x\sqrt{3}\leq 4\iff x\in(-\infty ;2-\sqrt{3} > }[/tex]
Odpowiedź.: Powyższa nierówność jest spełniona dla x∈(-∞;2-√3>.
