[tex]x[/tex] - liczba podzielna przez 5
Zatem
[tex]x=5k[/tex] gdzie [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]
Liczby niepodzielne przez 5 dają przy dzieleniu przez 5 reszty 1,2,3 lub 4. Możemy zatem zapisać liczby niepodzielne przez 5 na cztery sposoby:
[tex]x=5k+1\\x=5k+2\\x=5k+3\\x=5k+4[/tex]
Zatem kwadraty tych liczb możemy zapisać następująco:
[tex]x^2=(5k+1)^2=25k^2+10k+1=5(5k^2+2k)+\boxed{1}\\x^2=(5k+2)^2=25k^2+20k+4=5(5k^2+4k)+\boxed{4}\\x^2=(5k+3)^2=25k^2+30k+9=25k^2+30k+5+4=5(5k^2+6k+1)+\boxed{4}\\x^2=(5k+4)^2=25k^2+40k+16=25k^2+40k+15+1=5(5k^2+8k+3)+\boxed{1}[/tex]
Widzimy, że jedyne możliwe reszty to 1 i 4.