Rozwiązane

Naszkicuj wykres dowolnej funkcji, której dziedziną jest zbiór R i która jest ma
lejąca w przedziałach: ( - ∞, - 1 ),(3 , +c), stała w przedziale (-1, 2), rosnąca
w przedziale (2, 3).



Odpowiedź :

Gharic

Cześć!

Definicje monotoniczności funkcji

  • Funkcja rosnąca:
    [tex]f(x)\nearrow[/tex] [tex]\iff \forall_{x_1 < x_2}[f(x_1) < f(x_2)][/tex]
    Funkcja jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy wraz ze wzrostem argumentów, wzrastają wartości.
  • Funkcja malejąca:
    [tex]f(x) \searrow[/tex]  [tex]\iff \forall_{x_1 < x_2}[f(x_1) > f(x_2)][/tex]
    Funkcja jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy wraz ze wzrostem argumentów, maleją wartości.
  • Funkcja stała
    [tex]f(x)[/tex] jest stała [tex]\iff \forall_{x_1 < x_2}[f(x_1) = f(x_2)][/tex]
    Funkcja jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy wraz ze wzrostem argumentów, wartości nie ulegają zmianie.

Stwórzmy wzór funkcji w postaci odcinkowej w taki sposób, by każda funkcja składowa odwzorowywała funkcję liniową.

Postać ogólna funkcji liniowej to [tex]y=ax+b[/tex], gdzie:

  • jeśli [tex]a > 0[/tex] - funkcja jest rosnąca
  • jeśli [tex]a < 0[/tex] - funkcja jest malejąca
  • jeśli [tex]a=0[/tex] - funkcja jest stała

Załóżmy więc, że w przedziale [tex](-\infty;-1\rangle[/tex], gdzie funkcja musi być malejąca, wzorem funkcji będzie [tex]y=-x[/tex] (wówczas [tex]f(-1)=1[/tex]). W przedziale [tex](-1;2\rangle[/tex] ma ona być stała, niech więc niech przyjmie wzór [tex]y=1[/tex]. W przedziale [tex](2;3)[/tex] ma być rosnąca, dlatego określi ją tam funkcja [tex]y=x[/tex]. W przedziale [tex]\langle 3;+\infty)[/tex] ma być malejąca, dlatego naszkicujemy tam wykres funkcji [tex]y=-x[/tex]

Ogólny wzór funkcji to:

[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-x&\mbox{dla}&x\in(-\infty;-1\rangle\\1&\mbox{dla}&x\in(-1;2\rangle\\x&\mbox{dla}&(2;3)\\-x&\mbox{dla}&\langle3;+\infty)\end{array}\right.$[/tex]

Wykres w załączniku. Dziedziną jest [tex]\mathbb{R}[/tex].

Pozdrawiam!

Zobacz obrazek Gharic

Inne Pytanie