Szukane liczby to:
Skoro liczba y ma dwie cyfry jednakowe to nie mogą to być cyfry pierwsza i ostatnia, bo po zapisaniu ich w odwrotnej kolejności, otrzymalibyśmy tę samą liczbę.
Różnica między liczbą x a y jest dodatnia, czyli x > y. (Czyli pierwsza cyfra liczby x jest większa od pierwszej cyfry liczby y)
Przyjmując:
Mamy dwie możliwości:
Każdą z nich musimy sprawdzić osobno.
y = a·100 + a·10 + b i x = b·100 + a·10 + a
Suma cyfr wynosi 16, czyli mamy:
2a + b = 16
Stąd: b = 16 - 2a
Różnica między liczbą x a y jest równa 396, czyli:
x - y = 396
b·100 + a·10 + a - (a·100 + a·10 + b) = 396
100b + 10a + a - 100a - 10a - b = 396
99b - 99a = 396 /:99
b - a = 4
Podstawiając b = 16 - 2a otrzymujemy:
16 - 2a - a = 4 /-16
-3a = -12 /:(-3)
a = 4
b = 16 - 2·4 = 8
Czyli szukane liczby to:
y = a·100 + b·10 + b i x = b·100 + b·10 + a
Teraz z sumy cyfr mamy:
a + 2b = 16
Stąd: a = 16 - 2b
A z różnica między liczbą x a y::
x - y = 396
b·100 + b·10 + a - (a·100 + b·10 + b) = 396
100b + 10b + a - 100a - 10b - b = 396
99b - 99a = 396 /:99
b - a = 4
Podstawiając a = 16 - 2b otrzymujemy:
b - (16 - 2b) = 4
b - 16 + 2b = 4 /+16
3b = 20 /:3
b = 6²/₃
b oznacza cyfrę, czyli jednocyfrową liczbę naturalną, więc nie może być równe 6²/₃.
Mamy sprzeczność, czyli brak rozwiązań.
Zatem możliwy jest tylko pierwszy przypadek: