[tex]a)\ \,|x_1-x_2|=\left|-\dfrac13-\dfrac12\right|=\left|-\dfrac26-\dfrac36\right|= \left|-\dfrac56\right|= \dfrac56 \\\\ b)\ \,|x_1-x_2|=|0-\sqrt2|=|-\sqrt2|=\sqrt2\\\\ c)\ \,|x_1-x_2|=|2+\sqrt5-(2-\sqrt5)|=|2+\sqrt5-2+\sqrt5)|=|2\sqrt5|=2\sqrt5[/tex]
Miejsce zerowe funkcji.
Miejscem zerowym funkcji nazywamy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0
{x, dla którego f(x)=0}.
Czyli, żeby wyliczyć miejsca zerowe, wystarczy we wzorze funkcji wstawić 0 zamiast f(x) i rozwiązać równanie.
a) [tex]\bold{f(x)=(x+\frac13)(x-\frac12)}[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe:
[tex]\bold{0=(x+\frac13)(x-\frac12)}[/tex]
Iloczyn jest równy zeru, kiedy jeden z jego czynników jest równy 0, czyli:
[tex]\bold{x+\frac13=0\qquad\vee\qquad x-\frac12=0}\\\\\bold{x=-\frac13\ \qquad\ \vee\qquad\ x=\frac12}[/tex]
Czyli: [tex]\bold{x_1=-\frac13\,, \quad x_2=\frac12}[/tex]
Obliczamy wartość bezwzględną różnicy miejsc zerowych:
[tex]\bold{|x_1-x_2|=\left|-\dfrac13-\dfrac12\right|=\left|-\dfrac26-\dfrac36\right|= \left|-\dfrac56\right|= \dfrac56}[/tex]
b) [tex]\bold{f(x)=4x(x-\sqrt2)}[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe:
[tex]\bold{0=4x(x-\sqrt2)}[/tex]
Czyli:
[tex]\bold{4x=0\qquad\vee\qquad x-\sqrt2=0}\\\\\bold{\ x=0\, \qquad\vee\qquad\ x=\sqrt2}[/tex]
Czyli: [tex]\bold{x_1=0\,, \quad x_2=\sqrt2}[/tex]
Obliczamy wartość bezwzględną różnicy miejsc zerowych:
[tex]\bold{|x_1-x_2|=\left|0-\sqrt2\right|=\left|-\sqrt2\right|=\sqrt2}[/tex]
c) [tex]\bold{f(x)=(x+2-\sqrt5)(x+2+\sqrt5)}[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe:
[tex]\bold{0=(x+2-\sqrt5)(x+2+\sqrt5)}[/tex]
Czyli:
[tex]\bold{x+2-\sqrt5=0\qquad\vee\qquad x+2+\sqrt5=0}\\\\\bold{x=-2+\sqrt5\ \qquad\ \vee\qquad\ x=-2-\sqrt5}[/tex]
Czyli: [tex]\bold{x_1=-2+\sqrt5\,, \quad x_2=-2-\sqrt5}[/tex]
Obliczamy wartość bezwzględną różnicy miejsc zerowych:
[tex]\bold{|x_1-x_2|=\left|-2+\sqrt5-(-2-\sqrt5)\right|=\left|-2+\sqrt5+2+\sqrt5\right|=|2\sqrt5| = 2\sqrt5}[/tex]
