[tex]\large\boxed{\bold{\,\sqrt[3]{320\big\,}=\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5\big\,}= \sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot5\big\,}=4\sqrt[3]5}\,} }[/tex]
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek.
Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek (lub sprawdzić czy da się wyłączyć) należy rozłożyć liczbę spod pierwiastka na czynniki, które dają się spierwiastkować.
Co nie jest łatwe w przypadku pierwiastków wyższego stopnia, czy dużych liczb, dlatego zaczynamy od rozkładu liczby na czynniki pierwsze:
[tex]\begin{array}{r|l}320&2\\160&2\\80&2\\40&2\\20&2\\10&2\\5&5\\1\end{array}\\\\\\320=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5[/tex]
Mamy pierwiastek trzeciego stopnia, więc czynniki pierwsze zamieniamy na potęgi, łącząc po trzy jednakowe czynniki:
[tex]320=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5=2^3\cdot2^3\cdot5[/tex]
Zatem korzystając z własności pierwiastków:
[tex]\sqrt[n]a\cdot\sqrt[n]b=\sqrt[n]{a\cdot b}[/tex] oraz: [tex]\sqrt[n]{a^n}=a[/tex] dla każdego a>0
otrzymujemy:
[tex]\sqrt[3]{320}=\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot5}=\sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt[3]{5}=2\cdot2\cdot\sqrt[3]{5}\\\\\large\boxed{\bold{\sqrt[3]{320}=4\sqrt[3]5}}[/tex]
