Z definicji, moment bezwładności:
[tex]I=\sum_{i}{m_ir_i^2}[/tex]
gdzie r_i jest odległością masy m_i od osi obrotu.
W naszym wypadku mamy trzy jednakowe masy
[tex]I=m\sum_{i=1}^3{r_i^2}[/tex]
a)
oś jest prostopadła do płaszczyzny rysunku i przechodzi przez wierzchołek trójkąta. Oznacza to, że dwie masy są odległe od niej o a, zaś odległość trzeciej jest zerowa:
[tex]I=m(a^2+a^2)=2ma^2\\I=2\cdot10^{-3}kg\cdot(0.02m)^2=8\cdot10^{-7}kgm^2[/tex]
b)
Oś znajduje się w płaszczyźnie rysunku, przechodzi przez jeden z wierzchołków trójkąta i jest równoległa do jednego z boków. Odległości mas od osi to:
[tex]r_1=h\\r_2=h\\r_3=0\\\textrm{gdzie}\\h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ \textrm{wysoko\'s\'c\ tr\'ojk\,ata}\\I=m(h^2+h^2)=2mh^2=\frac{2ma^2\cdot3}{4}=\frac{3}{2}ma^2\\I=\frac{3}{2}\cdot10^{-3}kg\cdot(0.02kg)^2=6\cdot10^{-7}kgm^2[/tex]
c)
Oś jest prostopadła do płaszczyzny rysunku i p przechodzi przez środek ciężkości trójkąta. Punkt przecięcia środkowych boków, dzieli je w stosunku 1:2
[tex]r_1=r_2=r_3=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\I=3mr^2=\frac{3ma^2\cdot3}{9}=ma^2\\I=10^{-3}kg\cdot (0.02m)^2=4\cdot10^{-7}kgm^2[/tex]
pozdrawiam
