Odpowiedź:
z.1
Graficznie:
x² + y² - 8 x - 4 y + 10 = 0
(x - 4)² - 16 + ( y - 2)² - 4 + 10 = 0
( x - 4)² + ( y - 2 )² = 10
Mamy okrąg i środku S = ( 4 ; 2) i r = [tex]\sqrt{10}[/tex]
2 x + y = 5
więc
y = -2 x + 5
Rysujemy okrąg i prostą i odczytujemy współrzędne punktów
wspólnych.
Algebraicznie:
x² + y² - 8 x - 4 y + 10 = 0
y = 5 - 2 x
-----------
x² + ( 5 - 2 x )² - 8 x - 4*( 5 - 2 x ) + 10 = 0
x² + 25 - 20 x + 4 x² - 8 x - 20 +8 x + 10 = 0
5 x² - 20 x + 15 = 0 / : 5
x² - 4 x + 3 = 0
( x - 3)*(x - 1) = 0
x = 3 lub x = 1
więc
y = 5 -2*3 = -1 lub y = 5 - 2*1 = 3
Odp. ( x = 3 i y = - 1 ) lub ( x = 1 i y = 3 )
A ( 1 ; 3) , B ( 3 ; - 1)
====================
z.2
A( -2 ; 2 ) B ( 3 ; 2 )
k : x - y + 5 = 0 więc y = x + 5
I A B I = 3 - (- 2) = 3 + 2 =5
C leży na prostej k więc C ( x ; x + 5)
I AC I² = ( x - (-2))² +( x +5 -2 )² = (x +2)² + ( x +3)² = x² +4 x +4 + x² + 6 x + 9
I AC I² = 2 x² + 10 x + 13 = I AB I² = 5² = 25
2 x² + 10 x - 12 = 0 / : 2
x² + 5 x - 6 = 0
Δ = 5² - 4*1*( - 6) = 25 + 24 = 49 √Δ = 7
[tex]x_1 = \frac{- 5 - 7}{2} = -6[/tex] [tex]x_2 = \frac{- 5 + 7}{2} = 1[/tex]
więc
[tex]y_1 = - 6 + 5 = - 1[/tex] [tex]y_2 = 1 + 5 = 6[/tex]
Odp. [tex]C_1 ( - 6; - 1)[/tex] , [tex]C_2( 1 ; 6)[/tex]
=============================
z.3
k : 3 x + 4 y + 17 = 0
1) P( - 31; 19) ∈ k , bo:
3*( - 31) + 4*19 + 17 = - 93 + 76 + 17 = 0
P
====
2)
Prosta y = - [tex]\frac{3}{4} x + \frac{1}{2}[/tex] jest równoległa do prostej k , bo
3 x + 4 y + 17 = 0 ⇒ 4 y = -3 x - 17 ⇒ y = - [tex]\frac{3}{4} x - \frac{17}{4}[/tex]
[tex]a_1 = a_2 = - \frac{3}{4}[/tex]
P
====
Szczegółowe wyjaśnienie:
