Przykład a)
[tex]f(x) = -3x^2 + x + 2[/tex]
[tex]a = -3\\b = 1\\c = 2[/tex]
[tex]\η = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 1 + 24 = 25[/tex]
[tex]\sqrt{\η} = \sqrt{25} = 5[/tex]
[tex]x_{1} = \frac{-b \ - \ \sqrt{\η}}{2a} = \frac{-1 - 5}{-6} = \frac{-6}{-6} = \boxed{1}[/tex]
[tex]x_{2} = \frac{-b \ + \ \sqrt{\η} }{2a} = \frac{-1 + 5}{-6} = \frac{4}{-6} = \boxed{-\frac{2}{3}}[/tex]
Przykład b)
[tex]f(x) = 4x^2 - 10[/tex]
[tex]a = 4 \\b = 0\\c =- 10[/tex]
[tex]\η = b^2 - 4ac = 0 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 160[/tex]
[tex]\sqrt{\η} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}[/tex]
[tex]x_{1} = \frac{-b \ - \ \sqrt{\η}}{2a} = \frac{0 - 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-4\sqrt{10}}{8} = \boxed{\frac{-1\sqrt{10}}{2}}[/tex]
[tex]x_{2} = \frac{-b \ + \ \sqrt{\η} }{2a} = \frac{4\sqrt{10}}{8} = \boxed{\frac{1\sqrt{10}}{2}}[/tex]
_________________________
Wzory na miejsca zerowe:
a)
[tex]\η > 0[/tex]
[tex]x_{1} = \frac{-b \ - \ \sqrt{\η} }{2 \ \cdot \ a}[/tex]
[tex]x_{2} = \frac{-b \ + \ \sqrt{\η} }{2 \ \cdot \ a}[/tex]
b)
[tex]\η =0[/tex]
[tex]x_{1} = x_{2} = \frac{-b}{2a}[/tex]
c)
[tex]\η < 0[/tex]
[tex]Brak \ miejsc \ zerowych![/tex]
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej liczymy przyrównując wzór funkcji do zera.
Liczba miejsc zerowych uzależniona jest od wartości wyróżnika (czyli delty).
Δ > 0 - równanie ma dwa miejsca zerowe
[tex]x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\ \ \ \ ,\ \ \ \ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Δ < 0 - równanie nie ma miejsc zerowych
Δ = 0 - równanie ma jedno miejsce zerowe [tex]x_{0}=\frac{-b}{2a}[/tex]
[tex]a)\ \ f(x)=-3x^2+x+2\\\\-3x^2+x+2=0\\\\a=-3,\ \ b=1,\ \ c=2\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=1^2-4\cdot(-3)\cdot2=1+12\cdot2=1+24=25\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5 \\\\\\x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-5}{2\cdot(-3)}=\frac{-6}{-6}=1\\\\x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+5}{2\cdot(-3)}=\frac{4}{-6}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}[/tex]
[tex]b)\ \ f(x)=4x^2-10\\\\4x^2-10=0\\\\a=4,\ \ b=0,\ \ c=-10\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=0^2-4\cdot4\cdot(-10)=0-16\cdot(-10)=0+160=160=\sqrt{16\cdot10}=4\sqrt{10}\\\\\\x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0-4\sqrt{10}}{2\cdot4}=\frac{-\not4^1\sqrt{10}}{\not8_{2}}=\frac{-\sqrt{10}}{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}\\\\x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0+4\sqrt{10}}{2\cdot4}=\frac{\not4^1\sqrt{10}}{\not8_{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}[/tex]