Równanie okręgu
Równanie okręgu w postaci kanonicznej:
[tex]\huge\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}[/tex]
gdzie:
- środkiem okręgu jest punkt o współrzędnych S=(a, b)
- promień okręgu - r
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Odległość środka okręgu o równaniu O: (x-a)²+(y-b)²=r² od prostej o równaniu k: Ax+By+C=0 wyraża się wzorem:
[tex]\huge\boxed{d_{S, k}=\frac{|A*a+B*b*C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}[/tex]
- Prosta jest cięciwą okręgu (ma dwa punkty wspólne z okręgiem), jeżeli:
[tex]d_{S, k} < r[/tex] - Prosta jest styczną okręgu (ma jeden punkt wspólny z okręgiem), jeżeli:
[tex]d_{S, k}=r[/tex] - Prosta jest rozłączna z okręgiem (nie mają punktów wspólnych), jeżeli:
[tex]d_{S, k} > r[/tex]
Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Dla trójkąta o przyprostokątnych a oraz b i przeciwprostokątnej c:
[tex]\huge\boxed{a^2+b^2=c^2}[/tex]
Rozwiązanie
Rysunek pomocniczy w załączniku.
Wyjaśnienie:
Odległość od środka okręgu do dowolnego punktu na okręgu jest promieniem okręgu.
[tex]\boxed{|SA|=|SB|=r}[/tex]
Prosta k jest cięciwą okręgu. Punkty A i B są końcami tej cięciwy a długość odcinka |AB| jest równa 5√2.
[tex]\boxed{|AB|=5\sqrt2}[/tex]
[tex]d_{S, k}=\frac{|1*3-7*1+29|}{\sqrt{1^2+(-7)^2}}=\frac{|3-7+29|}{\sqrt{1+49}}}}=\frac{|25|}{\sqrt{50}}=\frac{25}{5\sqrt2}=\frac{5}{\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}2=\frac12|AB|[/tex]
Promienie okręgu poprowadzone od środka okręgu do punktów A i B wraz z odcinkiem AB tworzą trójkąt prostokątny.
Z Twierdzenia Pitagorasa:
[tex]r^2+r^2=|AB|^2\\2r^2=(5\sqrt2)^2\\2r^2=25*2 /:2\\r^2=25 /\sqrt{}\\\boxed{r=5}[/tex]
Równanie okręgu:
[tex]\huge\boxed{(x-3)^2+(y-1)^2=25}[/tex]
