Długość odcinka o końcach w punktach A=(x₁, y₁) i B=(x₂, y₂) oblicza się ze wzoru:
[tex]\huge\boxed{|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}[/tex]
a)
[tex]A=(-4; 6)\\B=(p; -2)\\|AB|=10\\\\\sqrt{(p+4)^2+(-2-6)^2}=10 /^2\\(p+4)^2+(-8)^2=100\\p^2+8p+16+64=100 /-100\\p^2+8p-20 = 0\\\\\Delta=8^2-4*1*(-20)=64+80=144\\\sqrt{\Delta}=12\\p_1=\frac{-8-12}2=\frac{-20}2=-10\\p_2=\frac{-8+12}2=\frac{4}2=2[/tex]
[tex]\boxed{p=2 \vee p=-10}[/tex]
b)
[tex]A=(5; p)\\B=(-1; -3)\\|AB|=8\\\\\sqrt{(-1-5)^2+(-3-p)^2}=8 /^2\\(-6)^2+(-3-p)^2=64\\36+9+6p+p^2=64 /-64\\p^2+6p+45-64=0\\p^2+6p-19=0\\\Delta=6^2-4*1*(-19)=36+76=112\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{112}=4\sqrt7\\\\p_1=\frac{-6-4\sqrt7}2=\frac{2(-3-2\sqrt7)}2=-3-2\sqrt7\\p_2=\frac{-6+4\sqrt7}2=\frac{2(-3+2\sqrt7)}2=-3+2\sqrt7\\\\\boxed{p=-3-2\sqrt7 \vee p=-3+2\sqrt7}[/tex]
c)
[tex]A=(2, 4)\\B=(p, -p)\\|AB|=6\\\\\sqrt{(p-2)^2+(-p-4)^2}=6 /^2\\(p-2)^2+(-p-4)^2=36\\p^2-4p+4+p^2+8p+16=36\\2p^2+4p+20=36 /-36\\2p^2+4p-16=0\\\Delta=4^2-4*2*(-16)=16+128=144\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12\\p_1=\frac{-4-12}4=\frac{-16}4=-4\\p_2=\frac{-4+12}4=\frac{8}4=2\\\\\boxed{p=-4 \vee p=2}[/tex]
d)
[tex]A=(p, 2p)\\B=(3, p+1)\\|AB|=2\\\\\sqrt{(3-p)^2+(p+1-2p)^2}=2 /^2\\(3-p)^2+(-p+1)^2=4\\9-6p+p^2+p^2-2p+1=4\\2p^2-8p+10=4 /-4\\2p^2-8p+6=0\\\Delta=(-8)^2-4*2*6=64-48=16\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\\p_1=\frac{8-4}4=\frac44=1\\p_2=\frac{8+4}4=\frac{12}4=3\\\\\boxed{p=1 \vee p=3}[/tex]