Zakładamy, że [tex]\sqrt7 \in \mathbb{Q}[/tex], a więc możemy zapisać, że [tex]\sqrt7=\dfrac{a}{b}[/tex] gdzie [tex]a,b\in\amthbb{Z} \wedge b\not=0 \wedge \text{NWD}(a,b)=1[/tex].
[tex]\sqrt7 =\dfrac{a}{b}\\\\7=\dfrac{a^2}{b^2}\\\\a^2=7b^2[/tex]
Z powyższego wynika, że [tex]a^2[/tex] jest podzielne przez 7, a co za tym idzie, również [tex]a[/tex] jest podzielne przez 7.
Możemy zatem zapisać, że [tex]a=7k[/tex] gdzie [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex].
[tex](7k)^2=7b^2\\49k^2=7b^2\\b^2=7k^2[/tex]
Z tego natomiast wynika, że [tex]b^2[/tex] jest podzielne przez 7, a więc i również [tex]b[/tex] jest podzielne przez 7.
Skoro zarówno [tex]a[/tex] jak i [tex]b[/tex] są podzielne przez 7, to znaczy, że [tex]\text{NWD}(a,b)\not =1[/tex] co jest sprzeczne z wcześniejszym założeniem. Zatem [tex]\sqrt7\in\mathbb{IQ}[/tex].
