Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej
Rozwiązanie z prostym wyjaśnieniem poniżej ;-)
Jak wygląda postać:
- kanoniczna funkcji kwadratowej
[tex]y=a(x-p)^2+q \ \ \ (a\neq0)[/tex]
- ogólna funkcji kwadratowej
[tex]y=ax^2+bx+c \ \ \ (a\neq0 \ \wedge \ a,b,c\in\text{R})[/tex]
Jak zamienić postać kanoniczną na ogólną?
- Użyj w nawiasie jednego z dwóch wzorów skróconego mnożenia
- Wymnóż nawias przez czynnik stojący przed nim (bądź jeśli nic nie stoi to git, możesz od razu bez nawiasu zapisywać rozwinięcie wzoru)
- Zredukuj wyrazy podobne i zapisz wzór w odpowiedniej kolejności, najpierw x², potem x a na końcu liczby rzeczywiste
Jak zamienić postać ogólną na kanoniczną?
Tu trochę więcej zachodu, ale nadal prosto.
- Wypisz współczynniki a, b oraz c
- Oblicz wyróżnik (Δ = b² - 4ac)
- Oblicz p (-b/2a) oraz q (-Δ/4a) czyli współrzędne wierzchołka
- Podstaw do wzoru na postać kanoniczną i przepis na zapisanie funkcji w postaci kanonicznej gotowy!
Jeszcze przypomnę wzory skróconego mnożenia ;P
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
[tex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/tex]
A)
[tex]f(x)=2(x+2)^2-3\\\\f(x)=2(x^2+2\cdot x\cdot2+2^2)-3\\\\f(x)=2(x^2+4x+4)-3\\\\f(x)=2x^2+8x+8-3\\\\\huge\boxed{\bold{f(x)=2x^2+8x+5}}[/tex]
B)
[tex]f(x)=-(x+5)^2-3\\\\f(x)=-(x^2+2\cdot x\cdot5+5^2)-3\\\\f(x)=-(x^2+10x+25)-3\\\\f(x)=-x^2-10x-25-3\\\\\huge\boxed{\bold{f(x)=-x^2-10x-28}}[/tex]
C)
[tex]f(x)=3x^2+2x-1\\\\a=3, \ b=2, \ c=-1\\\\\Delta=2^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16\\\\p=\frac{-2}{2\cdot3}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}\\\\q=\frac{-16}{4\cdot3}=-\frac{16}{12}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}\\\\f(x)=3(x-(-\frac{1}{3}))^2+(-1\frac{1}{3})\\\\\huge\boxed{\bold{f(x)=3(x+\frac{1}{3})^2-1\frac{1}{3}}}[/tex]
D)
[tex]f(x)=2x^2-3x+4\\\\a=2, \ b=-3, \ c=4\\\\\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot4=9-32=-23\\\\p=\frac{-(-3)}{2\cdot2}=\frac{3}{4}\\\\q=\frac{-23}{4\cdot2}=-\frac{23}{8}=-2\frac{7}{8}\\\\f(x)=2(x-\frac{3}{4})^2+(-2\frac{7}{8})\\\\\huge\boxed{\bold{f(x)=2(x-\frac{3}{4})^2-2\frac{7}{8}}}[/tex]
