Odpowiedź :
Ciąg geometryczny
To taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej q razy.
Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać:
[tex]\huge\boxed{a_n=a_1*q^{n-1}}[/tex]
[tex]n\in \mathbb{N}[/tex]
lub, jeżeli znany jest inny niż pierwszy wyraz ciągu geometycznego:
[tex]\huge\boxed{a_n=a_k*q^{n-k}}[/tex]
[tex]n, k \in \mathbb{N}[/tex]
Nierówność kwadratowa
Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności o postaci:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}ax^2+bx+c > 0\\ax^2+bx+c \geq 0\\ax^2+bx+c < 0\\ax^2+bx+c\leq0\end{array}}[/tex]
gdzie a≠0.
Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest zbiór liczb, dla których wzór funkcji przyjmuje wartości większe, większe i równe, mniejsze lub mniejsze i równe zeru.
Aby rozwiązać nierówność kwadratową, należy wyznaczyć miejsca zerowe funkcji, a następnie naszkicować wykres paraboli i odczytać z wykresu przedział argumentów funkcji, które spełniają nierówność.
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej są zależne od wyróżnika funkcji kwadratowej:
[tex]\huge\boxed{\Delta=b^2-4ac}[/tex]
Funkcja ma:
- 2 miejsca zerowe jeżeli Δ>0:
[tex]\boxed{x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}[/tex] - 1 miejsce zerowe jeżeli Δ=0:
[tex]\boxed{x_0=\dfrac{-b}{2a}}[/tex] - nie ma miejsc zerowych, jeżeli Δ<0.
Zakresy dla których spełniona jest nierówność, jeżeli funkcja ma 2 miejsca zerowe:
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c}a > 0; f(x) > 0&x\in(-\infty; x_1)\cup(x_2; \infty)\\a > 0; f(x)\geq0&x\in(-\infty; x_1\rangle\cup\langle x_2; \infty)\\a > 0; f(x) < 0&x\in(x_1; x_2)\\a > 0; f(x)\leq0&x\in\langle x_1; x_2 \rangle\\a < 0; f(x) > 0&x\in(x_1; x_2)\\a < 0; f(x)\geq0&x\in\langle x_1; x_2\rangle\\a < 0; f(x) < 0&x\in(-\infty; x_1)\cup(x_2; \infty)\\a < 0; f(x)\leq0&x\in(-\infty; x_2\rangle\cup\langle x_2; \infty)\end{array}}}[/tex]
I jeżeli ma jedno miejsce zerowe:
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c|c}a > 0; f(x) > 0&x\in(-\infty; x_0)\cup(x_0; \infty)&x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}\\a > 0; f(x)\geq0&x\in(-\infty; \infty)&x\in\mathbb{R}\\a > 0; f(x) < 0&x\in\emptyset\\a > 0; f(x)\leq0&x\in\{x_0\}\\a < 0; f(x) > 0&x\in\emptyset\\a < 0; f(x)\geq0&x\in\{x_0\}\\a < 0; f(x) < 0&x\in(-\infty; x_0)\cup(x_0; \infty)&x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}\\a < 0; f(x)\leq0&x\in(-\infty; \infty)&x\in\mathbb{R}\end{array}}[/tex]
Rozwiązanie:
Zadanie 7.
[tex]a_1=-5\\\\a_2=-1\\\\a_3=-\dfrac15\\\\a_4=a\\\\a_2=a_1*q\\\\-1=-5*q /:(-5)\\\\q=\dfrac15\\\\a=a_3*q\\\\a=-\dfrac15*\dfrac15\\\\\boxed{a=-\dfrac1{25}}[/tex]
Zadanie 8.
Ciągi określone są dla wyrazów naturalnych (nie istnieje na przykład -5 albo 1,5 wyraz ciągu).
[tex]a_n=n^2-9n-20\\a_n > 16\\\mathbb{D}: \: n\in\mathbb{N}\\\\n^2-9n-20 > 16 /-16\\n^2-9n-36 > 0\\\\\Delta=(-9)^2-4*1*(-36)=81+144=225\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{225}=15\\\\n_1=\dfrac{9-15}{2}=-\dfrac62=-3 \notin \mathbb{D}\\\\n_2=\dfrac{9+15}2=\dfrac{24}2=12[/tex]
Ciąg liczbowy jest określony tylko dla wyrazów naturalnych (większych od zera), więc zbiór liczb mniejszych od -3 musimy odrzucić.
[tex]\boxed{n\in(12; \infty) \:\: \vee \:\: n\in\langle13; \infty)}[/tex]
Odpowiedź:
Ciąg geometryczny to taki, w którym każdy następny wyraz jest wynikiem pomnożenia liczby przez iloraz q.
7. Mamy ciąg -5, -1, [tex]-\frac{1}{5}[/tex],a
Musimy obliczyć iloraz ciągu ze wzoru [tex]q = \frac{a_n}{a_{n-1}}[/tex]
Podstawiamy
[tex]q = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}[/tex]
Aby teraz obliczyć wyraz "a" to po prostu wykonujemy mnożenie przez iloraz
[tex]a = -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{25}[/tex]
8. Mamy podany wzór ogólny ciągu [tex]a_n = n^2 - 9n - 20[/tex] i mamy wypisać tylko te wyrazy, które nie będą większe niż 16.
Wyznaczamy kolejno wyrazy, aż osiągniemy maksymalny wynik 16
[tex]a_1 = 1^2 - 9\cdot 1 - 20 = 1 - 9 - 20 = -28[/tex]
[tex]a_2 = 2^2 - 9\cdot2 - 20 = 4 - 18 - 20 = -34[/tex]
[tex]a_3 = 3^2 - 9 \cdot 3 - 20 = 9 - 27 - 20 = - 38[/tex]
[tex]a_4 = 4^2 - 9 \cdot 4 - 20 = 16 - 36 - 20 = -40[/tex]
[tex]a_5 = 5^2 - 9 \cdot 5 - 20 = 25 - 45 - 20 = -40[/tex]
[tex]a_6 = 6^2 - 9\cdot6 - 20 = 36 - 54 - 20 = -38[/tex]
[tex]a_7 = 7^2 - 9\cdot7 - 20 = 49 - 63 - 20 = -34[/tex]
[tex]a_8 = 8^2 - 9 \cdot 8 - 20 = 64 - 72 - 20 = -28[/tex]
[tex]a_9 = 9^2 - 9\cdot9 - 20 = 81 - 81 - 20 = -20[/tex]
[tex]a_{10} = 10^2 - 9\cdot10 - 20 = 100 - 90 - 20 = -10[/tex]
[tex]a_{11} = 11^2 - 9 \cdot 11 - 20 = 121 - 99 - 20 = 2[/tex]
[tex]a_{12} = 12^2 - 9 \cdot 12 - 20 = 144 - 108 - 20 = 16[/tex]
Czyli wyznaczyć możemy maksymalnie 12 wyrazów.
Szczegółowe wyjaśnienie:
