Równania kwadratowe z parametrem
Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania wtedy, kiedy Δ>0. Ponadto poszukujemy takiego m, dla którego rozwiązanie będzie miało takie pierwiastki, że suma ich kwadratów będzie większa od 7. Muszą zatem zajść dwa warunki jednocześnie:
[tex]\huge\boxed{\left \{ {{\Delta > 0} \atop {x_1^2+x_2^2 > 7}} \right. }[/tex]
Wypisujemy współczynniki liczbowe
[tex]x^2+(m+2)x+3m-2=0\\\\a=1, b=m+2, c=3m-2[/tex]
Układamy nierówność kwadratową podstawiając współczynniki liczbowe do wzoru na wyróżnik funkcji kwadratowej. Rozwiązanie tej nierówności powie nam, dla jakich wartości parametru m, równanie będzie miało dwa rozwiązania.
[tex]b^2-4ac > 0\\(m+2)^2-4*1*(3m-2) > 0\\m^2+4m+4-4(3m-2) > 0\\m^2+4m+4-12m+8 > 0\\m^2-8m+12 > 0\\\\\Delta=(-8)^2-4*1*12=64-48=16\\\sqrt{\Delta}=4\\\\m_1=\dfrac{8-4}{2}=\dfrac{4}2=2\\m_2=\dfrac{8+4}2=\dfrac{12}2=6\\\\\underline{m\in(-\infty; 2)\cup(6;\infty)}[/tex]
Teraz poszukujemy takich wartości parametru m, dla których kwadraty pierwiastków równania będą większe od 7.
Rozwijamy wzory na pierwiastki równania kwadratowego i układamy nierówność.
[tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\x_1^2+x_2^2 > 7\\\\\left(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2+\left(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 > 7\\\\\dfrac{b^2+2b\sqrt{\Delta}+\Delta}{4a^2}+\dfrac{b^2-2b\sqrt{\Delta}+\Delta}{4a^2} > 7\\\\\dfrac{b^2+\Delta+b^2+\Delta}{4a^2} > 7\\\\\dfrac{2b^2+2\Delta}{4a^2} > 7\\[/tex]
[tex]\\\dfrac{2b^2+2(b^2-4ac)}{4a^2} > 7\\\\\dfrac{2b^2+2b^2-8ac}{4a^2} > 7\\\\\dfrac{4b^2-8ac}{4a^2} > 7\\\\\dfrac{4(b^2-2ac)}{4a^2} > 7\\\\\dfrac{b^2-2ac}{a^2} > 7[/tex]
Do powyższej nierówności podstawiamy współczynniki liczbowe, które odczytaliśmy na początku i rozwiązujemy nierówność.
[tex]\dfrac{(m+2)^2-2*1*(3m-2)}{1^2} > 7\\\\\dfrac{m^2+4m+4-2(3m-2)}1 > 7\\\\m^2+4m+4-6m+4 > 7 /-7\\\\m^2-2m+1 > 7\\\\\Delta=(-2)^2-4*1*1=4-4=0\\\\m_0=\dfrac{2}{2}=1\\\\\underline{m\in(-\infty; 1)\cup(1;\infty)}[/tex]
Rozwiązaniem zadania jest część wspólna obu wyznaczonych zbiorów.
[tex]\left \{ {{m\in(-\infty; 2)\cup(6;\infty)} \atop {m\in(-\infty; 1)\cup(1;\infty)}} \right.[/tex]
[tex]\boxed{m\in(-\infty; 1)\cup(6;\infty)}[/tex]
