Liczby całkowite to liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne, a także liczba zero. Symbol liczb całkowitych to [tex]\mathbb{Z}[/tex].
Przykłady liczb całkowitych:
-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Rozwiązaniem nierówności kwadratowych jest zazwyczaj przedział liczbowy. Nierówność kwadratowa może mieć postać:
[tex]\begin{array}{c}ax^2+bx+c > 0\\ax^2+bx+c < 0\\ax^2+bx+c \geq 0\\ax^2+bx+c \leq 0\end{array}[/tex]
Zbiór rozwiązań nierówności kwadratowych jest zależny od zwrotu ramion paraboli oraz znaku nierówności.
Jeżeli parametr a jest większy od zera, ramiona paraboli są skierowane w górę. Jeżeli jest mniejszy - ramiona są skierowane w dół. Znak nierówności określa, czy rozwiązaniem jest zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe, mniejsze, większe lub równe czy mniejsze lub równe zeru.
[tex]\begin{array}{c|c|c}\:&a > 0&a < 0\\\cline{1-3}f(x) > 0&x\in(-\infty; x_1)\cup(x_2; \infty)&x\in(x_1; x_2)\\f(x) < 0&x\in(x_1; x_2)&x\in(-\infty; x_1)\cup(x_2; \infty)\\f(x)\geq0&x\in(-\infty; x_1\rangle\cup\langle x_2; \infty)&x\in\langle x_1; x_2\rangle\\f(x)\leq0&x\in\langle x_1; x_2\rangle&x\in(-\infty; x_1\rangle \cup \langle x_2; \infty)\end{array}[/tex]
Poszukujemy takich liczb, dla których suma kwadratu tej liczby i jej trzykrotności jest mniejsza od zera.
Wiemy, że nasze szukane liczby to liczby całkowite, więc wyznaczamy dziedzinę:
[tex]\boxed{D: x\in \mathbb{Z}}[/tex]
Układamy nierówność kwadratową:
[tex]x^2+3x < 10 /-10\\x^2+3x-10 < 0\\\\a=1, b=3, c=-10\\\\\Delta=3^2-4*1*(-10)=9+40=49\\\sqrt{\Delta}=7\\\\x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3-7}{2}=\dfrac{-10}2=-5\\\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3+7}2=\dfrac42=2[/tex]
Zbiorem rozwiązań są liczby całkowite z przedziału [tex](-5; 2)[/tex]:
[tex]\boxed{x = \{-4; -3; -2; -1; 0; 1\}}[/tex]
Odp. Liczby całkowite spełniające tę nierówność to: -4; -3; -2; -1; 0; 1