Rozwiązane

Oblicz wartość najmniejszą i największą funkcji:
a) f(x)=x2-4x-5 w przedziale <0;4>
b) f(x)=x2+6x-7 w przedziale <-8;-4>

Potrzebuje szybkiej odpowiedzi. Daje naj.​



Odpowiedź :

Poziomka777

Odpowiedź:

a]

a=1      b=-4         c=-5

p=-b/2a= 4/2=2  ∈<0,4>        q=f(p]= 2²-4*2-5=-9= wartosc najmniejsza

f(0]=-5                    f(4]=16-16-5=-5

wartosc max=-5

b]

a=1              b=6          c=-7            p=-6/2=-3   ∉<-8,-4>

f(-8]=64-48-7=9  = wartosc max                    f(-4]= 16-24-7=-15= wartosc min

Szczegółowe wyjaśnienie:

Catta1eya

Odpowiedzi:

[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{1-5}\:&\text{Wzor}&\text{Przedzial}&\text{Wartosc najmniejsza}&\text{Wartosc najwieksza}\\\cline{1-5}a)&f(x)=x^2-4x-5&\langle0;4\rangle&f(2)=-9&f(0)=f(4)=-5\\\cline{1-5}b)&f(x)=x^2+6x-7&\langle-8;4\rangle&f(-4)=-15&f(-8)=9\\\cline{1-5}\end{array}[/tex]

Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej w przedziale

Funkcja kwadratowa przyjmuje wartość:

  • najmniejszą [tex]f(p)=q[/tex], kiedy a>0
  • największą [tex]f(p)=q[/tex], kiedy a<0

Jeżeli współrzędne wierzchołka paraboli zawierają się w przedziale, to współrzędna q będzie jego wartością największą lub najmniejszą, w zależności od zwrotu ramion wykresu funkcji.

Funkcja kwadratowa w danym przedziale przyjmuje wartość:

  • największą, kiedy a>0 dla takiego x, który jest najbardziej oddalony od współrzędnej "p" wierzchołka.
  • najmniejszą, kiedy a<0 dla takiego x, który jest najbardziej oddalony od współrzędnej "p" wierzchołka.

Rozwiązanie:

Kroki:

  1. Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli i sprawdzamy, czy zawiera się w przedziale.
  2. Sprawdzamy która wartość z granicznych tego przedziału jest dalej odsunięta od wierzchołka.
  3. Obliczamy jej wartość.

a)

[tex]f(x)=x^2-4x-5\\a=1, b=-4, c=-5[/tex]

Współczynnik a>0, więc ramiona paraboli będą skierowane ku górze.

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

[tex]\Delta=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36\\p=\dfrac{4}2=2\\q=\dfrac{-36}4=-9[/tex]

[tex]p\in\langle0; 4\rangle[/tex] - wierzchołek zawiera się w przedziale. Współrzędna q wierzchołka jest wartością najmniejszą tej funkcji.

[tex]\boxed{f_{min}=f(2)=-9}[/tex]

Sprawdzamy odległość punktów granicznych od wierzchołka.

[tex]|0-2|=|-2|=2\\|4-2|=|2|=2[/tex]

Punkty te znajdują się w tej samej odległości od wierzchołka, zatem będą przyjmować tę samą wartość, więc wystarczy że obliczymy jedną z nich. Będzie to wartość największa.

[tex]f(0)=0^2-4*0-5=-5\\\\\boxed{f_{max}=f(0)=f(4)=-5}[/tex]

b)

[tex]f(x)=x^2+6x-7\\a=1, b=6, c=-7[/tex]

Współczynnik a>0, więc ramiona paraboli będą skierowane ku górze.

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

[tex]\Delta=6^2-4*1*(-7)=36+28=64\\p=\dfrac{-6}2=-3\\\\q=\dfrac{-64}{4}=-16[/tex]

[tex]p\notin\langle-8; -4\rangle[/tex]- wierzchołek nie zawiera się w przedziale. Oznacza to, że wartość najmniejszą będzie miał punkt najbliższy wierzchołkowi a największa - punkt najbardziej oddalony. Sprawdzamy odległości:

[tex]|-8-(-3)|=|-8+3|=|-5|=5\\|-4-(-3)|=|-4+3|=|-1|=1[/tex]

Wartość funkcji dla x=-4 będzie wartością najmniejszą, a dla x=-8 - największą w tym przedziale.

[tex]f(-4)=(-4)^2+6*(-4)-7=16-24-7=-15\\f(-8)=(-8)^2+6*(-8)-7=64-48-7=9[/tex]

[tex]\boxed{f_{min}=f(-4)=-15}\\\boxed{f_{max}=f(-8)=9}[/tex]

Inne Pytanie