Rozwiązane

Dany jest okrąg o1= (x+2)^2 + (y-5)^2 = 16
Równanie okręgu o2 ośrodku w punkcie B= (14, -7) i promieniu 3 razy dłuższym niż promień okręgu o1 ma postać
A. (x-14)^2 + (y+7)^2 =48
B. (x-14)^2 + (y+7)^2 =49
C. (x-14)^2 + (y+7)^2 =144
D. (x+14)^2 + (y-7)^2 =49

Napisz równanie prostej przechodzącej przez środki obu okręgów

Oceń prawdziwość zdań
Punkt A=(1,8) należy do okręgu o1
Długość okręgu o1 wynosi 16 [tex]\pi[/tex]



Odpowiedź :

Unicorn05

Równanie okręgu

to:

     [tex]\large\boxed{\ \bold{(x-a)^2+(y-b)=r^2}\,\big\, }[/tex]

gdzie (a, b) to środek okręgu, a r  to jego promień.

mamy dane równanie okręgu O₁:

                                                 [tex](x+2)^2 + (y-5)^2 = 16[/tex]

czyli:

  •  a₁ = -2,  b₁ = 5      ⇒    A = (-2, 5)
  •  r₁² = 16   ⇒   r₁ = 4    

Drugi okrąg (O₂) ma dane:

          B = (14, -7)    ⇒    a₂ = 14,    b₂ = -7

                                       r₂ = 3r₁ = 3·4 = 12

Zatem jego równanie to:

                                        [tex](x-14)^2+\big(x-(-7)\big)^2=12^2\\\\\large\text{$(x-14)^2+(x+7)^2\,=\,144$}[/tex]

Odp.:   C.   (x - 14)² + (y + 7)² = 144

Równanie prostej

Współczynnik kierunkowy prostej

przechodzącej przez punkty A i B to:

                                               [tex]\large\boxed{a_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}[/tex]

Naszymi punktami są środki okręgów:

  • A = (-2, 5)      ⇒    [tex]x_A=-2\,,\quad y_A=5[/tex]
  • B = (14, -7)     ⇒    [tex]x_B=14\,,\quad y_B=-7[/tex]

Czyli współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez środki okręgów to:

                   [tex]a_{AB}=\dfrac{-7-5}{14+2}=\dfrac{-12}{16}=-\dfrac34[/tex]

Równanie prostej

o znanym współczynniku kierunkowym a przechodzącej przez dany punkt P = (x₀, y₀) to:

                      [tex]\large\boxed{\,y=a(x-x_0)+y_0\big\,}[/tex]

Znamy dwa punkty, przez które przechodzi prosta, więc wybieramy dowolny z nich:

A = (-2, 5)      ⇒    x₀ = -2,   y₀ = 5

Zatem:

Równanie prostej przechodzącej przez środki obu okręgów:

                     [tex]y=-\dfrac34\big(x-(-2)\big)+5\\\\y=-\dfrac34\,x-\dfrac32+\dfrac{10}2\\\\\large\text{$\bold{y=-\dfrac34\,x+\dfrac{7}2}$}[/tex]

Punkt należy do okręgu, jeśli jego współrzędne spełniają równanie tego okręgu:

         [tex](x+2)^2 + (y-5)^2 = 16\qquad \wedge\quad A=(1,8)\\\\(1+2)^2 + (8-5)^2 = 16\\\\3^2 + 3^2 = 16\\\\18\ne16[/tex]

Czyli zadnie:

"Punkt A = (1, 8) należy do okręgu O₁" to FAŁSZ

Długość okręgu to:

                                   [tex]\large\boxed{L=2\pi r}[/tex]

gdzie r to długość promienia okręgu.

[tex]r=4\quad\implies\quad L=2\pi\cdot 4=8\pi\ \,\ne16\pi[/tex]

Czyli zadnie:

"Długość okręgu O₁ wynosi 16π"  to również FAŁSZ

Inne Pytanie