6.
Na podstawie twierdzenia o dzieleniu z resztą, możemy zapisać, że [tex]14=qd+2[/tex]. [tex]d[/tex] jest tu szukanym dzielnikiem. Wiemy również (z twierdzenia), że [tex]0\leq r < |d|[/tex].
Tutaj [tex]r=2[/tex], zatem [tex]0\leq 2 < |d|\Rightarrow d > 2[/tex].
Z równania [tex]14=dq+2[/tex] mamy, że [tex]dq=12[/tex]. Zatem, [tex]d[/tex] musi być dzielnikiem 12 (i większym od 2). Takimi dzielnikami są 3,4,6,12.
Zatem [tex]d\in\{3,4,6,12\}[/tex]
7.
[tex]a=5k+4\\a=13l+4[/tex]
gdzie [tex]k,l\in\mathbb{N}[/tex]
Z powyższego można wywnioskować, że [tex]5k=13l[/tex]. [tex]\text{NWD}(5,13)=1[/tex] zatem [tex]k=13m \wedge l=5n[/tex] gdzie [tex]m,n\in\mathbb{N}[/tex].
No i teraz wszystko zależy czy przyjmujemy, że [tex]0\in\mathbb{N}[/tex] czy nie.
Jeżeli tak, to najmniejszą liczbę otrzymamy, gdy [tex]m=0 \Rightarrow k=13\cdot0=0[/tex] (podobnie z [tex]l[/tex], ale nie musimy rozpatrywać obu przypadków, bo i tak dojdziemy do takiego samego wyniku).
Wtedy
[tex]a=5\cdot0+4=4[/tex]
Jeżeli przyjmujemy, że [tex]0\not\in\mathbb{N}[/tex], to [tex]m=1\Rightarrow k=13\cdot1=13[/tex].
Wtedy
[tex]a=5\cdot13+4=69[/tex].