Odpowiedź:
Rozwiązaniami tego układu równań są dwie pary liczb:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{ccc}\left\{\begin{array}{c}x=10\\y=15\end{array}\right\:&\text{ lub }&\left\{\begin{array}{c}x=15\\y=10\end{array}\right\:\end{array}}[/tex]
Układ równań
Układem równań nazywa się związek przynajmniej dwóch równań.
Układy równań można rozwiazywać na różne sposoby:
- metoda podstawiania - wyznaczanie jednej z niewiadomych z jednego równania i podstawienie jej do drugiego równania.
Przykład:
[tex]\left\{\begin{array}{c}x+2y=8 |-2y\\2x-y=1\end{array}\right\:\\\\\left\{\begin{array}{c}\underline{x=8-2y}\\2\underline{(8-2y)}-y=1\end{array}\right\:[/tex] - metoda przeciwnych współczynników - polega na sprowadzenie obu równań do sytuacji, w której przy tej samej niewiadomej znajdą się przeciwne współczynniki, a następnie dodanie równań stronami.
Przykład:
[tex]\left\{\begin{array}{c}x+2y=8\\2x-y=1 |\cdot 2\end{array}\right\:\\\\\underline{+\left\{\begin{array}{c}x\underline{+2y}=8\\4x\underline{-2y}=2\end{array}\right\:}\\x+4x+2y-2y=8+2\\5x=10[/tex]
Rozwiazanie:
Układamy równania zgodnie z treścią zadania:
Suma dwóch liczb jest równa 25: [tex]x+y=25[/tex]
Ich iloczyn jest równy 150: [tex]xy=150[/tex]
Tworzymy układ tych równań i rozwiązujemy metodą podstawiania:
[tex]\left\{\begin{array}{c}x+y=25 |-y\\xy=150\end{array}\right\:\\\\\left\{\begin{array}{c}x=25-y\\(25-y)y=150\end{array}\right\:\\\\\left\{\begin{array}{c}x=25-y\\25y-y^2=150|-150\end{array}\right\:\\\\\left\{\begin{array}{c}x=25-y\\-y^2+25y-150=0\end{array}\right\:[/tex]
Należy zauważyć, że po przekształceniu, w drugim równaniu pojawia nam się równanie kwadratowe.
Wyznaczamy Δ.
[tex]-y^2+25y-150=0\\a=-1, b=25, c=-150\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=25^2-4*(-1)*(-150)=625-600=25\\\Delta > 0 - \text{rownanie ma dwa rozwiazania}\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5[/tex]
[tex]y_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \to y_1=\dfrac{-25-5}{-2}=\dfrac{-30}{-2}=15\\\\y_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \to y_2=\dfrac{-25+5}{-2}=\dfrac{-20}{-2}=10[/tex]
Należy pamiętać, że dla każdego wyznaczonego y, należy wyznaczyć też "x".
[tex]{\begin{array}{cc}\left\{\begin{array}{c}y=15\\x=25-15\end{array}\right\:&\left\{\begin{array}{c}y=10\\x=25-10\end{array}\right\:\\\\\left\{\begin{array}{c}y=15\\x=10\end{array}\right\:&\left\{\begin{array}{c}y=10\\x=15\end{array}\right\:\end{array}[/tex]
