Odpowiedzi:
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c|c}a)&b)&c)&d)&e)&f)\\\cline{1-6}\:&\:&\:&\:&\:&\:\\x=1\dfrac23&x=1&x=2\dfrac27&x=-7&x\in\mathbb{R}&x=\emptyset\end{array}}[/tex]
Równania z jedną niewiadomą
Jeżeli w równaniu występuje jedna niewiadoma, to:
- Wymnażamy nawiasy i pozbywamy się mianowników
- Przenosimy niewiadome na lewą-, liczby na prawą stronę równania, pamiętając o zamianie znaków na przeciwne.
- Redukujemy wyrazy podobne
- Dzielimy stronami przez liczbę stojącą przy niewiadomej.
Jeżeli po obu stronach równości znajduje się ułamek zwykły, to możemy pomnożyć liczniki z mianownikami "na krzyż".
[tex]\huge\boxed{\dfrac{a}b=\dfrac{c}d \to ad = bc}[/tex]
Rozwiazanie:
a)
Mnożymy metodą "na krzyż".
[tex]\dfrac{x}2=\dfrac56\\\\6x=2\cdot 5\\6x=10 |:6\\x=\dfrac{10}6=\dfrac53=1\dfrac23\\\\\boxed{x=1\dfrac23}[/tex]
b)
- Mnożymy metodą "na krzyż".
- Wymnażamy nawiasy
- Przenosimy niewiadomą na lewo
- Dzielimy stronami.
[tex]\dfrac{x}2=\dfrac{x+1}4\\\\4x=2(x+1)\\4x=2x+2 |-2x\\4x-2x=2\\2x=2 |:2\\\boxed{x=1}[/tex]
c)
- Mnożymy metodą "na krzyż".
- Wymnażamy nawiasy
- Przenosimy niewiadome na lewo, wiadome na prawo
- Dzielimy stronami.
[tex]\dfrac{2(x-1)}{3}=\dfrac{x+2}5\\\\5\cdot2(x-1)=3(x+2)\\10(x-1)=3(x+2)\\10x-10=3x+6 |-3x+10\\10x-3x=6+10\\7x=16 |:7\\x=\dfrac{16}7=2\dfrac27\\\boxed{x=2\dfrac27}[/tex]
d)
- Pozbywamy się mianownika, mnożąc stronami przez liczbę w mianowniku
- Przenosimy wiadome na prawo
- Dzielimy stronami przez liczbę przy niewiadomej.
[tex]1-\dfrac{2x+5}3=4 |\cdot 3\\\\3-(2x+5)=12\\3-2x-5=12\\-2x-2=12 |+2\\-2x=14 |:(-2)\\\boxed{x=-7}[/tex]
e)
- Pozbywamy się mianowników mnożąc stronami przez wspólną wielokrotność liczb 2, 3 i 6
- Przenosimy niewiadome na lewo, wiadome na prawo
- Jest to równanie tożsamościowe - ma nieskończenie wiele rozwiazań.
[tex]\dfrac{x}2-\dfrac{x}3+1=\dfrac16(x+6) |\cdot 6\\\\3x-2x+6=x+6\\x+6=x+6 |-x-6\\0=0\\L=P[/tex]
[tex]\boxed{x\in\mathbb{R}}[/tex]
f)
- Pozbywamy się mianowników mnożąc stronami przez wspólną wielokrotność liczb 2 i 4.
- Wymnażamy nawias
- Przenosimy niewiadome na lewo, wiadome na prawo
- Jest to równanie sprzeczne - nie ma rozwiazań.
[tex]\dfrac{x-1}4-\dfrac{x+1}2=-\dfrac{x}4 |\cdot 4\\x-1-2(x+1)=-x\\x-1-2x-2=-x\\-x-3=-x |+x+3\\0\neq 3[/tex]
[tex]\boxed{x=\emptyset}[/tex]
