1.
[tex]y=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}x+(y_A-\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} *x_A)\\\\y=\frac{4-(-1)}{-7-5} x+(4-\frac{4-(-1)}{-7-5}*(-7))\\\\y=-\frac{5}{12}x+(4-(-\frac{5}{12})*(-7)\\\\y=-\frac{5}{12}x+\frac{13}{12}\\[/tex]
2.
Proste równoległe: a1=a2
[tex]y=\frac{1}{5}x+b\\\\-2=\frac{1}{5}*(-10)+b\\\\-2=-2+b\rightarrow b=0\\\\y=\frac{1}{5}x\\[/tex]
[tex]\huge\begin{array}{ccc}1.&y=-\dfrac{5}{12}x+\dfrac{13}{12}\end{array}\\\begin{array}{ccc}2.&y=\dfrac{1}{5}x\end{array}[/tex]
Równanie kierunkowe prostej:
[tex]y=ax+b[/tex]
[tex]a[/tex] - współczynnik kierunkowy
[tex]b[/tex] - rzędna przecięcia prostej z osią OY
1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(-7,4) B(5,-1).
Najszybciej znajduje się równanie prostej przechodzącej przez dwa punktu korzystając ze wzoru, który jest w kartach wzorów na maturze:
[tex]A(x_1,\ y_1),\ B(x_2,\ y_2)\\\\AB:\ y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)[/tex]
Podstawiamy współrzędne punktów:
[tex]y-4=\dfrac{-1-4}{5-(-7)}(x-(-7))\\\\y-4=\dfrac{-5}{12}(x+7)\\\\y-4=-\dfrac{5}{12}x-\dfrac{35}{12}\qquad|+4=\dfrac{48}{12}\\\\\boxed{y=-\dfrac{5}{12}x+\dfrac{13}{12}}[/tex]
Innym sposobem jest podstawienie współrzędnych punktów do równania kierunkowego prostej i rozwiązanie układu równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}4=-7a+b\\-1=5a+b&|\cdot(-1)\end{array}\right\\\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}4=-7a+b\\1=-5a-b\end{array}\right}\\\text{}\qquad5=-12a\qquad|:(-12)\\\text{}\qquad\boxed{a=-\dfrac{5}{12}}[/tex]
Podstawiamy do drugiego równania:
[tex]5\cdot\left(-\dfrac{5}{12}\right)+b=-1\\\\-\dfrac{25}{12}+b=-\dfrac{12}{12}\qquad|+\dfrac{25}{12}\\\\\boxed{b=\dfrac{13}{12}}[/tex]
Stąd:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a=-\dfrac{5}{12}\\b=\dfrac{13}{12}\end{array}\right[/tex]
Ostatecznie:
[tex]\boxed{y=-\dfrac{5}{12}x+\dfrac{13}{12}}[/tex]
Niech dane będą proste:
[tex]k:y=a_1x+b_1\\\\l:y=a_2x+b_2[/tex]
Wówczas:
[tex]k\ \perp\ l\iff a_1\cdot a_2=-1\\\\k\ \parallel\ l\iff a_1=a_2[/tex]
Przyjmijmy szukaną prostą jako:
[tex]y=ax+b[/tex]
Ma ona być równoległa do prostej o równaniu
[tex]y=\dfrac{1}{5}x+28[/tex]
W związku z tym
[tex]a=\dfrac{1}{5}\to y=\dfrac{1}{5}x+b[/tex]
Szukana prosta ma przechodzić przez punkt A(-10, -2). Wstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej:
[tex]-2=\dfrac{1}{5}\cdot(-10)+b\\\\-2=-2+b\qquad|+2\\\\b=0[/tex]
Ostatecznie mamy:
[tex]\boxed{y=\dfrac{1}{5}x}[/tex]