Rozwiązane

prosze o pomoc matematyka rozszerzona
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, wiedząc, że jej najmniejsza wartość wynosi -1, a największa wartość funkcji w
przedziale (2;4) jest o 6 większa od najmniejszej wartości w tym przedziale. Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny
względem osi y.
wiem tyle że a>0 i q=c=-1
powinno wyjść f(x)=1/2x^2-1 ktoś jest w stanie powiedzieć dlaczego?



Odpowiedź :

Unicorn05

Funkcja kwadratowa

  • przyjmuje najmniejszą wartość (przy a>0) na wierzchołku W(p,q),
  • jest symetryczna względem prostej x = p,
  • dla a>0 jest malejąca w przedziale (-∞,p> i rosnąca w  <p,∞).

Mamy dane:

  • Najmniejsza wartość funkcji wynosi -1, czyli q = -1.
  • Wykres funkcji jest symetryczny względem osi y, czyli p = 0 (bo równanie osi 0Y to x = 0).
  • Największa wartość funkcji w przedziale <2;4> jest o 6 większa od jej najmniejszej wartości w tym przedziale. 0<2, więc w tym przedziale funkcja jest rosnąca, czyli f(2)<f(4). Zatem:  f(4) = f(2)+6.

Skoro mamy dany wierzchołek, to możemy zapisać funkcję w postaci kanonicznej:

f(x) = a(x - p)² + q        ∧     W = (p, q) = (0, -1)

Czyli:  

       f(x) = ax² - 1

Stąd:

        f(2) = a·2² - 1 = 4a - 1

        f(4) = a·4² - 1 = 16a - 1

Zatem:

           16a - 1 = 4a - 1 + 6

             12a = 6      /:12

                a = ¹/₂  

Stąd równanie szukanej funkcji to:

                                                   [tex]\Large\text{$\bold{f(x)=\frac12\,x^2-1}$}[/tex]

{Jest to jednocześnie postać kanoniczna (z p=0) i postać ogólna (z b=0) danej funkcji kwadratowej.}

Uwaga dodatkowa:

Skoro funkcja posiada wartość największą i najmniejszą w podanym przedziale, to przedział musi być obustronnie domknięty.