Witaj :)
Naszym zadaniem jest obliczenie pola oraz obwodu trójkąta równobocznego o podanych współrzędnych wierzchołków.
Niech dane będą dwa punkty A oraz B o następujących współrzędnych:
[tex]A(x_A;y_A)\ \ \wedge\ \ B(x_B;y_B)[/tex]
wówczas długość odcinka |AB| wyraża się wzorem:
[tex]\Large \boxed{|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} }[/tex] (1)
Trójkąt równoboczny, jak sama nazwa wskazuje, jest to trójkąt, którego wszystkie boki mają jednakowe długości, oraz kąty mają takie same miary, równe 60°. Wzór na pole trójkąta równobocznego wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{P_{\Delta} =\frac{a^2\sqrt{3}}{4} }[/tex] (2)
gdzie:
a - długość boku trójkąta
Obwód trójkąta to suma długości jego boków, więc wzór wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{Obw=a+a+a=3a}[/tex] (3)
Zadanie sprowadza się do obliczenia długości odcinka |AB|, który jednocześnie będzie bokiem trójkąta, a następnie pola i jego obwodu.
[tex]A(1;2), \ gdzie:\ x_A=1\ \wedge\ y_A=2\\B(4;1), \ gdzie:\ x_B=4\ \wedge\ y_B=1\\\\|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{3^2+(-1)^2} =\sqrt{9+1}= \sqrt{10} =a[/tex]
[tex]a=\sqrt{10}\\\\P_{\Delta}=\frac{(\sqrt{10})^2\sqrt{3} }{4}=\frac{10\sqrt{3}}{4}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ [j^2][/tex]
[tex]a=\sqrt{10}\\\\Obw=3\cdot \sqrt{10}=3\sqrt{10}\ [j][/tex]
Odpowiedź.: Pole trójkąta równobocznego o podanych wierzchołkach oraz jego obwód wynoszą odpowiednio:
[tex]\Huge \boxed{P_{\Delta}=\frac{5\sqrt{3}}{2}[j^2]\ \wedge\ \ Obw=3\sqrt{10}[j]}[/tex]