a₄ = 3
Najszybszym sposobem znalezienia a₄ w tym zadaniu jest skorzystanie z własności, że w ciągu geometrycznym (przy n>k) dowolny wyraz jest średnią geometryczną dwóch równoodległych od niego wyrazów:
[tex]\large\text{$a_n=\sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}$}[/tex]
Możemy to zapisać również jako: [tex]\large\text{$a_n^2=a_{n-k}\cdot a_{n+k}$}[/tex]
Zatem:
Mamy dane: [tex]a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=2187[/tex]
Czyli:
[tex]a_1\cdot a_7\cdot a_2\cdot a_6\cdot a_3\cdot a_5\cdot a_4=2187\\\\{}\quad\ \ a_4^2\ \cdot\ a_4^2\ \cdot\ a_4^2\ \cdot\ a_4=2187\\\\ {}\qquad\qquad \ a_4^7\ =\ 2187 \\\\ {}\qquad\qquad \ a_4^7\ =\ 3^7\\\\ {}\qquad\qquad \ a_4\ =\ 3[/tex]
Jeżeli nie przerabialiście podanej wyżej zależności, to możemy skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: [tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/tex]
Stąd:
Czyli:
[tex]a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=2187\\\\ a_1\cdot a_1\cdot q\cdot a_1\cdot q^2\cdot a_1\cdot q^3\cdot a_1\cdot q^4\cdot a_1\cdot q^5\cdot a_1\cdot q^6=2187\\\\{}\qquad\qquad a_1^7\cdot q^{21}=2187\\\\{} \qquad \quad \left(a_1\cdot q^3\right)^7=2187\\\\{} \qquad \qquad a_4^7=2187\\\\{} \qquad \qquad\ a_4^7=3^7\\\\{} \qquad \qquad\ a_4=3[/tex]