Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{P_{c}=72(\sqrt{3} +8)~cm^{2}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{V=576\sqrt{3} ~cm^{3}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ⇒ w podstawie trójkąt równoboczny
Korzystamy ze wzorów:
- [tex]V=P_{p} \cdot H~~\land~~P_{p}=P_{\Delta rownoboczny} =\dfrac{a^{2}\sqrt{3} }{4} ~~\Rightarrow~~\huge\boxed{V=\dfrac{a^{2}\sqrt{3} }{4} \cdot H}[/tex] - wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
- [tex]P_{c} =2\cdot P_{p}+P_{b}~~\land~~P_{p}=P_{\Delta rownoboczny} =\dfrac{a^{2}\sqrt{3} }{4}~~\land~~P_{b}=3\cdot P_{prostokat}=3aH~~\Rightarrow~~\huge\boxed{P_{c}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3} }{2}+3aH}[/tex] - wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
- [tex]\huge\boxed{h=\dfrac{a\sqrt{3} }{2} }~~\Rightarrow~~a=\dfrac{2h}{\sqrt{3} }[/tex] - wzór na wysokość w trójkącie równobocznym
- a - długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, długość boku trójkąta równobocznego
- h - wysokość w trójkącie równobocznym
- H - wysokość w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
- b - przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
- TWIERDZENIE PITAGORASA brzmi : Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Twierdzenie Pitagorasa stosujemy tylko do trójkąta prostokątnego.
Obliczamy:
rysunek w załączniku.
- obliczamy a - krawędź podstawy graniastosłupa prostego trójkątnego
[tex]a=\dfrac{2h}{\sqrt{3} } ~~\land~~h=6\sqrt{3} ~cm~~\Rightarrow~~\huge\boxed{a=12~cm}[/tex]
- obliczamy H - wysokość w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa
[tex]H^{2}+a^{2}=b^{2}~~\land~~a=12~cm~~\land~~b=20~cm\\\\H^{2}+(12cm)^{2}=(20cm)^{2}\\\\H^{2}+144cm^{2}=400cm^{2}\\\\H^{2}=256cm^{2}~~\land~~H > 0~~\Rightarrow~~\huge\boxed{H=16~cm}[/tex]
- obliczamy pole podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
[tex]P_{p}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3} }{4} ~~\land~~a=12~cm\\\\P_{p}=\dfrac{144\sqrt{3} }{4} ~~cm^{2}\\\\\huge\boxed{P_{p}=36\sqrt{3} ~~cm^{2}}[/tex]
- obliczamy pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
[tex]P_{b}=3\cdot a\cdot H~~\land~~a=12cm~~\land~~H=16cm\\\\\huge\boxed{P_{b}=576~cm^{2}}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.
[tex]P_{c}=2\cdot P_{p}+P_{b}~~\land~~ P_{p}=36\sqrt{3} ~cm^{2}~~\land~~P_{b}=576~cm^{2}\\\\P_{c}=72\sqrt{3} ~cm^{2}+576~cm^{2}\\\\\huge\boxed{P_{c}=72(\sqrt{3} ~cm^{2}+8)~cm^{2}}[/tex]
Obliczamy objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.
[tex]V=P_{p}\cdot H~~\land~~P_{p}=36\sqrt{3} ~cm^{2}~~\land~~H=16~cm\\\\\huge\boxed{V=576\sqrt{3} ~cm^{3}}[/tex]
