[tex]\huge\boxed{|AD|=\sqrt{247}cm}[/tex]
W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
Jeżeli boki trójkąta oznaczymy a, b, c, a kąty przeciwległe do tych boków odpowiednio α, β, γ, to długości każdego z tych boków obliczymy ze wzoru:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}a^2=b^2+c^2-2bc cos\alpha\\b^2=a^2+c^2-2ac cos\beta\\c^2=a^2+b^2-2ab cos\gamma\end{array}}[/tex]
Środkową w trójkącie nazywamy długość odcinka poprowadzonego z dowolnego wierzchołka trójkąta do środka przeciwległego odcinka.
Wzór na długość środkowej opadającej na bok c.
[tex]\huge\boxed{d=\dfrac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}[/tex]
[tex]|AB|=a=10cm, |BC|=b=12cm, |AC|=c=20cm, |AD|=d=?[/tex]
I. Kontrolnie obliczamy długość środkowej opadającej na bok a korzystając ze wzoru na jej długość:
[tex]d=\dfrac12\sqrt{2\cdot(12cm)^2+2\cdot(20cm)^2-(10cm)^2}\\\\d=\dfrac12\sqrt{288cm^2+800cm^2-100cm^2}\\\\d=\dfrac12\sqrt{988cm^2}\\\\d=\dfrac{2\sqrt{247}cm}2\\\\\boxed{d=\sqrt{247}cm}[/tex]
II. Obliczamy długość środkowej korzystając z twierdzenia sinusów.
Rysunek pomocniczy w załączniku.
Aby obliczyć długość środkowej, najpierw, korzystając z Twierdzenia Sinusów, wyznaczamy miarę kąta przy wierzchołku A.
[tex]b^2=a^2+c^2-2ac cos\beta\\(12cm)^2=(10cm)^2+(20cm)^2-2\cdot 10cm\cdot 20cm \cdot cos\beta\\144cm^2=100cm^2+400cm^2-400cm^2\cdot cos\beta\\144cm^2=500cm^2-400cm^2 \cdot cos\beta |-500cm^2\\-356cm^2=-400cm^2 \cdot cos\beta |:(-400cm^2)\\cos\beta=0,89\\[/tex]
Środkowa d podzieliła bok a na połowę. Znając wartość cosinusa kąta β, z łatwością obliczymy długość środkowej.
[tex]d^2=\left(\dfrac12a\right)^2+c^2-2\cdot\dfrac12a\cdot c\cdot cos\beta\\\\d^2=(5cm)^2+(20cm)^2-2\cdot 5cm\cdot 20cm \cdot 0,89\\\\d^2=25cm^2+400cm^2-200cm^2\cdot 0,89\\d^2=425cm^2-178cm^2\\d^2=247cm^2\\d=\sqrt{247cm^2}\\\\\boxed{\boxed{d=\sqrt{247}cm}}[/tex]
