Odpowiedź:
a)
[tex]\huge\begin{array}{c|c}b=2^\frac52&log_2b=2\dfrac12\end{array}[/tex]
b)
[tex]\huge\begin{array}{c|c}b=2^\frac{13}3&log_2b=4\dfrac13\end{array}[/tex]
c)
[tex]\huge\begin{array}{c|c}b=2^{-\frac{5}2}&log_2b=-2\dfrac12\end{array}[/tex]
d)
[tex]\huge\begin{array}{c|c}b=2^{-\frac{14}3}&log_2b=-4\dfrac23\end{array}[/tex]
Definicja logarytmów
Logarytm przy podstawie a z liczby b daje taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b.
[tex]\huge\boxed{log_ab=c \to a^c=b}[/tex]
Logarytmy - wzory
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}log_ab + log_ac=log_a(b\cdot c)\\log_ab - log_ac=log_a(b:c)\\n\cdot log_ab=log_a(b^n)\\a^{log_ab}=b\\log_ab=\dfrac{log_cb}{log_ca}\\log_aa=1\end{array}}[/tex]
Działania na potęgach
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n \text{ razy}}\\a^1=a\\a^0=1\\a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\a^n:a^m=a^{n-m}\\a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\\a^n:b^n=(a:b)^n\\(a^n)^m=a^{n\cdot m}\\a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}\end{array}}[/tex]
Rozwiazanie:
Zadanie 2.
Przedstawiamy liczbę b w postaci potęgi liczby 2. Następnie obliczamy logarytm koszystając z przy podstawie 2 z liczby b korzystając z definicji logarytmu i wzorów logarytmicznych.
Zamianę liczby "b" na potęgę liczby 2 rozpisałam w tabeli, po prawej stronie zapisałam użyty wzór.
a)
[tex]\begin{array}{l|l}\multicolumn{2}{c}{b=4\sqrt2}\\b=2^2\cdot 2^{\frac12}&a^{\frac{1}n}=\sqrt[n]a\\b=2^{2+\frac12}&a^n \cdot a^m=a^{n+m}\\\boxed{b=2^{\frac52}}\end{array}[/tex]
[tex]log_2b=log_24\sqrt2=log_22^{\frac52}=\dfrac52\cdot log_22=\dfrac52\cdot 1=\dfrac52=\boxed{2\dfrac12}[/tex]
b)
[tex]\begin{array}{l|l}\multicolumn{2}{c}{b=16\sqrt[3]2}\\b=2^4\cdot 2^{\frac13}&a^{\frac1n}=\sqrt[n]a\\b=2^{4+\frac13}&a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\\boxed{b=2^{\frac{13}3}}\end{array}[/tex]
[tex]log_216\sqrt[3]2=log_22^{\frac{13}3}=\dfrac{13}3\cdot log_22=\dfrac{13}3\cdot 1=\dfrac{13}3=\boxed{4\dfrac13}[/tex]
c)
[tex]\begin{array}{l|l}\multicolumn{2}{c}{b=\dfrac{\sqrt2}8}\\b=\dfrac{2^{\frac12}}{2^3}&a^{\frac1n}=\sqrt[n]a\\\:&\:\\b=2^{\frac12}:2^3&\:\\b=2^{\frac12-3}&a^m:a^n=a^{m-n}\\\boxed{b=2^{-\frac52}}\end{array}[/tex]
[tex]log_2\dfrac{\sqrt2}8=log_22^{-\frac52}=-\dfrac52\cdot log_22=-\dfrac52\cdot 1=-\dfrac52=\boxed{-2\dfrac12}[/tex]
d)
[tex]\begin{array}{l|l}\multicolumn{2}{c}{b=\dfrac{\sqrt[3]2}{32}}\\b=\dfrac{2^{\frac13}}{2^5}&a^{\frac1n}=\sqrt[n]a\\\:&\:\\b=2^{\frac13}:2^5&\:\\b=2^{\frac13-5}&a^m:a^n=a^{m-n}\\\boxed{b=2^{-\frac{14}3}}\end{array}[/tex]
[tex]log_2\dfrac{\sqrt[3]2}{32}=log_22^{-\frac{14}3}=-\dfrac{14}3\cdot log_22=-\dfrac{14}3\cdot 1=-\dfrac{14}3=\boxed{-4\dfrac23}[/tex]
